Wicipedia

Amrywiant: Gwahaniaeth rhwng fersiynau

Pori'r hanes yn rhyngweithiol
Cymharer â'r fersiwn dilynol →
Cynnwys wedi'i ddileu Cynnwys wedi'i ychwanegu
GweledolCystrawen wici
Gerian2 (sgwrs | cyfraniadau)
419 golygiad
Crewyd drwy gyfieithu'r dudalen "Variance"
 
Gerian2 (sgwrs | cyfraniadau)
419 golygiad
Dim crynodeb golygu
Llinell 1:
[[Delwedd:Comparison_standard_deviations.svg|de|bawd|400x400px|Enghraifft o ddwy boblogaeth gyda'r un cymedr onond amrywiannau gwahanol. Mae gan y boblogaeth goch gymedr 100 ac amrywiant 100 (gwiriad safonol 10) tra bod gan y boblogaeth las gymedr 100 ac amrywiant 2500 (gwiriad safonol 50).]]▼
Mewn [[damcaniaeth tebygolrwydd]] ac [[ystadegaeth]], '''amrywiant''' yw disgwyliad gwyriad sgwâr [[hapnewidyn]] o'i [[Cymedr|gymedr]]. Yn anffurfiol, mae'n mesur i ba raddau y mae set o rifau wedi'u gwasgaru o'u gwerth cymedrig. Mae gan amrywiant rôl pwysigbwysig mewn ystadegaeth, lle'i ddefnyddir ar gyfer [[Ystadegaethystadegaeth ddisgrifiadol|ystadegaeth disgrifiadol]], [[Prawf rhagdybiaeth|profi rhagdybiaeth]], modelu, a samplu Monte Carlo. Mae amrywiant yn bwysig yn y gwyddorau, lle mae dadansoddiad ystadegol o ddata yn gyffredin. Yr amrywiant yw sgwâr y ''gwyriad safonol''. Amrywiant hefyd yw ail momentfoment ganolog dosraniad, a chyamrywiadchydamrywiad yr hapnewidyn ag ef ei hun. Cynrychiolir amrywiant yn aml gan <math>\sigma^2</math>, <math>s^2</math>, ac <math>\operatorname{Var}(X)</math>.<ref>{{Cite book|edition=Seventh edition|title=Mathematical statistics with applications|url=https://www.worldcat.org/oclc/183886598|publisher=Thomson Brooks/Cole|date=2008|location=Belmont, CA|isbn=978-0-495-11081-1|oclc=183886598|others=Mendenhall, William., Scheaffer, Richard L.|last=Wackerly, Dennis D., 1945-}}</ref>▼
▲[[Delwedd:Comparison_standard_deviations.svg|de|bawd|400x400px|Enghraifft o ddwy boblogaeth gyda'r un cymedr on amrywiannau gwahanol. Mae gan y boblogaeth goch gymedr 100 ac amrywiant 100 (gwiriad safonol 10) tra bod gan y boblogaeth las gymedr 100 ac amrywiant 2500 (gwiriad safonol 50).]]
▲Mewn [[damcaniaeth tebygolrwydd]] ac [[ystadegaeth]], '''amrywiant''' yw disgwyliad gwyriad sgwâr [[hapnewidyn]] o'i [[Cymedr|gymedr]]. Yn anffurfiol, mae'n mesur i ba raddau y mae set o rifau wedi'u gwasgaru o'u gwerth cymedrig. Mae gan amrywiant rôl pwysig mewn ystadegaeth, lle'i ddefnyddir ar gyfer [[Ystadegaeth ddisgrifiadol|ystadegaeth disgrifiadol]], [[Prawf rhagdybiaeth|profi rhagdybiaeth]], modelu, a samplu Monte Carlo. Mae amrywiant yn bwysig yn y gwyddorau, lle mae dadansoddiad ystadegol o ddata yn gyffredin. Yr amrywiant yw sgwâr y ''gwyriad safonol''. Amrywiant hefyd yw ail moment ganolog dosraniad, a chyamrywiad yr hapnewidyn ag ef ei hun. Cynrychiolir amrywiant yn aml gan <math>\sigma^2</math>, <math>s^2</math>, ac <math>\operatorname{Var}(X)</math>.<ref>{{Cite book|edition=Seventh edition|title=Mathematical statistics with applications|url=https://www.worldcat.org/oclc/183886598|publisher=Thomson Brooks/Cole|date=2008|location=Belmont, CA|isbn=978-0-495-11081-1|oclc=183886598|others=Mendenhall, William., Scheaffer, Richard L.|last=Wackerly, Dennis D., 1945-}}</ref>
 
== Diffiniad damcaniaeth tebygolrwydd ==
Llinell 28 ⟶ 27:
: <math>\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2,</math>
 
lle <math>\mu</math> yw'r gwerth disgwyliedig (cymedr). Hynny yw,▼
neu'n gywerth,
 
: <math>\operatorname{Var}(X) = \left(\sum_{i=1}^n p_i x_i ^2\right) - \mu^2,</math>▼
 
▲lle<math>\mu</math> yw'r gwerth disgwyliedig (cymedr). Hynny yw,
 
: <math>\mu = \sum_{i=1}^n p_i x_i .</math>
 
=== Hapnewidyn barhausparhaus ===
Os oes gan hapnewidyn <math>X</math> ffwythiant dwysedd tebygolrwydd <math>f(x)</math>, gofod cyflwr (parth) Ω, a ffwythiant dosraniad cronnus cyfatebol <math>F(x)</math>, yna
 
: <math>\begin{align}
\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 &= \int_{\ROmega} (x-\mu)^2 f(x) \, dx \\[4pt]
&= \int_{\ROmega} x^2f(x)\,dx -2\mu\int_{\R} xf(x)\,dx + \mu^2\int_{\R} f(x)\,dx \\[4pt]
&= \int_{\ROmega} x^2 \,dFf(x)\,dx - 2 \mu \int_{\R} xcdot \,dF(x)mu + \mu^2 \int_{\R}cdot \,dF(x)1 \\[4pt]
&= \int_{\ROmega} x^2 \,dFf(x)\,dx - 2 \mu \cdot \mu + \mu^2 \cdot 1 \\[4pt],
&= \int_{\R} x^2 \,dF(x) - \mu^2,
\end{align}</math>
 
neu'n gyfwerth,
 
: <math>\operatorname{Var}(X) = \int_{\R} x^2 f(x) \,dx - \mu^2 ,</math>
 
lle<math>\mu</math> yw gwerth disgwyliedig (cymedr) <math>X</math> a roddir gan
 
: <math>\mu = \int_{\ROmega} x f(x) \, dx = \int_{\R} x \, d F(x). </math>
 
== Enghreifftiau ==
 
=== DosbarthiadDis esbonyddolteg ===
Gellir modelu [[dis]] teg chwe ochr fel hapnewidyn arwahanol, {{mvar|X}}, gyda chanlyniadau 1 i 6, pob un â thebygolrwydd cyfartal 1/6. Gwerth disgwyliedig {{mvar|X}} yw <math>(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 7/2.</math> Felly, amrywiant {{mvar|X}} yw▼
 
: <math>\begin{align}▼
▲: <math> \operatorname{Var}(X) &= \left(\sum_{i=1}^n6 p_i\frac{1}{6}\left(i x_i- ^\frac{7}{2}\right) - \mu^2,</math> \\[5pt]
&= \frac{1}{6}\left((-5/2)^2 + (-3/2)^2 + (-1/2)^2 + (1/2)^2 + (3/2)^2 + (5/2)^2\right) \\[5pt]▼
&= \frac{35}{12} \approx 2.92.▼
\end{align}</math>▼
 
=== Dosraniad esbonyddol ===
Mae dosraniad esbonyddol gyda pharamedr λ yn ddosraniad parhaus, a rhoddir ei ffwythiant dwysedd tebygolrwydd gan
 
: <math>f(x) = \lambda e^{-\lambda x}</math>
 
ar y cyfwng {{math|1=Ω = [0, &infin;)}}.<ref>{{Cite book|title=Probability, Markov chains, queues, and simulation : the mathematical basis of performance modeling|url=https://www.worldcat.org/oclc/756484370|publisher=Princeton University Press|date=2009|location=Princeton, N.J.|isbn=1-4008-3281-0|oclc=756484370|last=Stewart, William J., 1946-}}</ref> Gellir dangos ei gymedr yw
ar y cyfwng {{math|[0, &infin;)}}. Gellir dangos ei gymedr yw
 
: <math>\operatorname{E}[X] = \int_0^\infty \lambda xe^{-\lambda x} \, dx = \frac{1}{\lambda}.</math>
Llinell 68 ⟶ 67:
Gan ddefnyddio integreiddio fesul rhan, a defnyddio'r gwerth disgwyliedig a gyfrifwyd eisoes, mae gennym:
 
: <math>\begin{align}
\operatorname{EVar}\left[(X^2\right]) &= \int_0^\infty \lambda left(x - \frac{1}{\lambda}\right)^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx \\
&= \left[lambda \int_0^\infty -x^2 e^{-\lambda x} dx - 2\right]_0int_0^\infty xe^{-\lambda x} dx + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty 2xee^{-\lambda x} \,dx \\
&= 0\lambda +\frac{2}{\lambda^3} - 2 \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda} \operatornamefrac{E1}{\lambda}[X] \\
&= \frac{21}{\lambda^2}.
\end{align}</math>
 
== Diffiniad o Ystadegaeth ==▼
Felly, rhoddir amrywiant {{mvar|X}} gan
Yn nodweddiadol ni all arsylwadau yn y byd go iawn fod setiau cyflawn o'r holl arsylwadau posibl y gellid eu gwneud, na fydd amleddau'r arsylwadau yn cynrychiolucynrychioli'r tebygolrwyddau yn manwlfanwl cywir. Felly, yn gyffredinol ni fydd yr amrywiant a gyfrifir o'r set gyfyngedig yn cyfateb i'r amrywiant a fyddai wedi'i gyfrifo o'r boblogaeth lawn o arsylwadau posibl. Mae hyn yn golygu bod rhaid yn ''amcangyfrif'' y cymedr a'r amrywiant a fyddai wedi cael ei gyfrif o set cyflawngyflawn o arsylwadau trwy ddefnyddio hafaliad amcangyfrif. Gelwir hwn yr ''amrywiant sampl''.▼
 
: <math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left[X^2\right] - \operatorname{E}[X]^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2}.</math>
 
=== Dis teg ===
▲Gellir modelu [[dis]] teg chwe ochr fel hapnewidyn arwahanol, {{mvar|X}}, gyda chanlyniadau 1 i 6, pob un â thebygolrwydd cyfartal 1/6. Gwerth disgwyliedig {{mvar|X}} yw <math>(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 7/2.</math> Felly, amrywiant {{mvar|X}} yw
 
▲: <math>\begin{align}
\operatorname{Var}(X) &= \sum_{i=1}^6 \frac{1}{6}\left(i - \frac{7}{2}\right)^2 \\[5pt]
▲ &= \frac{1}{6}\left((-5/2)^2 + (-3/2)^2 + (-1/2)^2 + (1/2)^2 + (3/2)^2 + (5/2)^2\right) \\[5pt]
▲ &= \frac{35}{12} \approx 2.92.
▲\end{align}</math>
 
▲== Diffiniad o Ystadegaeth ==
▲Yn nodweddiadol ni all arsylwadau yn y byd go iawn fod setiau cyflawn o'r holl arsylwadau posibl y gellid eu gwneud, na fydd amleddau'r arsylwadau yn cynrychiolu'r tebygolrwyddau yn manwl cywir. Felly, yn gyffredinol ni fydd yr amrywiant a gyfrifir o'r set gyfyngedig yn cyfateb i'r amrywiant a fyddai wedi'i gyfrifo o'r boblogaeth lawn o arsylwadau posibl. Mae hyn yn golygu bod rhaid yn ''amcangyfrif'' y cymedr a'r amrywiant a fyddai wedi cael ei gyfrif o set cyflawn o arsylwadau trwy ddefnyddio hafaliad amcangyfrif. Gelwir hwn yr ''amrywiant sampl''.
 
:
 
 
:
 
Rydym yn cymryd sampl o ''n'' gwerth ''Y''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''Y''<sub>''n''</sub> o'r boblogaeth, ac amcangyfrif yr amrywiant ar sail y sampl hon.<ref>Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) ''Applied statistics and probability for engineers'', page 201. John Wiley & Sons New York</ref> Mae cymryd amrywiant y data sampl yn uniongyrchol yn rhoi:
 
: <math>\sigma_Y^2 =
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(Y_i - \overline{Y}\right)^2 = \left(\frac 1n \sum_{i=1}^n Y_i^2\right) - \overline{Y}^2 =.
\frac{1}{n^2} \sum_{i,j\,:\,i<j}\left(Y_i - Y_j\right)^2.
</math>
 
Fan hyn mae <math>\overline{Y}</math> yn dynodi cymedr y sampl :
 
: <math>\overline{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i .</math>
 
Oherwydd dewisiwyddewiswyd ''Y''<sub>''i''</sub> ar hap, mae <math>\overline{Y}</math> ac <math>\sigma_Y^2</math> yn hapnewidynnau. Gallwn cyfrifogyfrifo'u gwerthoedd disgwyliedig gan:
 
: <math>\begin{align}
Llinell 120 ⟶ 100:
Felly mae <math>\sigma_Y^2</math> yn rhoi amcangyfrif o'r amrywiant poblogaeth sydd â bias ffactor o <math>\frac{n - 1}{n}</math>. Felly fe elwir <math>\sigma_Y^2</math> yr ''amrywiant sampl bias''. Mae cywiro ar gyfer y bias hwn yn rhoi'r ''amrywiant sampl diduedd'', a ddynodir gan <math>s^2</math>:
 
: <math>s^2 = \frac{n}{n - 1} \sigma_Y^2 = \frac{n}{n - 1} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(Y_i - \overline{Y}\right)^2 \right) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n \left(Y_i - \overline{Y} \right)^2.</math>
 
== Cyfeiriadau ==
Wedi dod o "https://cy.wikipedia.org/wiki/Amrywiant"