Y gwahaniaeth rhwng diwygiadau o "Matrics"

Lleihawyd o 9,018 beit ,  5 mis yn ôl
dim crynodeb golygu
(Crewyd drwy gyfieithu'r dudalen "Matrix (mathematics)")
 
 
[[Delwedd:Matris.png|bawd|Matrics ''m'' × ''n'': mae'r ''m'' rhes yn llorweddol ac mae'r ''n'' colofn yn fertigol. Yn aml, dynodir pob elfen o fatrics gan newidyn gyda dau danysgrifiad. Er enghraifft, mae ''a''<sub>2,1</sub> yn cynrychioli'r elfen yn yr ail rhesres a cholofn cyntafgyntaf y matrics.]]
Mewn [[mathemateg]], mae '''matrics''' yn arae [[Petryal|hirsgwar]] neu ''dabl'' o [[Rhif|rifau]], symbolau, neu [[Mynegiad (mathemateg)|mynegiannaufynegiannau]], wedi'u trefnu mewn ''rhesi'' a ''cholofnau''. Er enghraifft, dimensiwn y matrics isod yw 2 × 3, oherwydd mae dwy res a thair colofn:
 
: <math>\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}.</math>
 
Fe elwir yr eitemau unigol mewn matrics ''m'' × ''n'' matrics yn ''elfennau'' neu ''gofnodion''. Ar gyfer matrics '''A''', yn aml ddynodir yr elfen mewn rhes ''i'' a cholofn ''j'' gan ''a<sub>i,j</sub>.''<ref>{{Cite book|edition=5th ed|title=Elementary linear algebra|url=https://www.worldcat.org/oclc/13580207|publisher=Wiley|date=1987|location=New York|isbn=0-471-84819-0|oclc=13580207|last=Anton, Howard.}}</ref><ref>{{Cite book|title=A first course in linear algebra; with optional introduction to groups, rings, and fields|url=https://www.worldcat.org/oclc/600254|publisher=Houghton Mifflin|date=1973|location=Boston,|isbn=0-395-14017-X|oclc=600254|others=Fraleigh, John B.,|last=Beauregard, Raymond A.|first=|year=|pages=}}</ref>
Os oes ganddynt yr un maint (mae gan y matricsau yr un nifer o resi a'r un nifer o golofnau â'r llall), gellir adio neu dynnu dau fatrics fesul elfen. Y rheol ar gyfer lluosi matrics, fodd bynnag, yw y ''gellir lluosi dau fatrics ond pan mae nifer y colofnau yn y cyntaf yn hafal i nifer y rhesi'r ail.'' Hynny yw, mae eu dimensiynau mewnol yr un peth, '''''n''''' ar gyfer lluosi matrics (''m'' × '''''n''''') gan matrics ('''''n''''' × ''p''), sy'n cynhyrchu matrics (''m'' × ''p'') -matrix. Ni ellir lluosi'r matricsau y ffordd arall o gwmpas, felly nid yw lluosi matricsau yn gymudol. Gellir lluosi unrhyw fatrics â sgalar fesul elfen. Fel arfer dynodir matricsau gan ddefnyddio priflythrennau [[Yr wyddor Ladin|Lladin]] fel<math>A</math>, <math>B</math> a<math>C</math>.<ref name=":2">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-19|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>
 
Os oes ganddynt yr un maint (mae gan y matricsau yr un nifer o resi a'r un nifer o golofnau â'r llall), gellir adio neu dynnu dau fatrics fesul elfen. Y rheol ar gyfer lluosi matrics, fodd bynnag, yw y ''gellir lluosi dau fatrics ond pan mae nifer y colofnau yn y cyntaf yn hafal i nifer y rhesi'r ail.'' Hynny yw, mae eu dimensiynau mewnol yr un peth, '''''n''''' ar gyfer lluosi matrics (''m'' × '''''n''''') gan fatrics ('''''n''''' × ''p''), sy'n cynhyrchu matrics (''m'' × ''p''). Ni ellir lluosi'r matricsau y ffordd arall o gwmpas, felly nid yw lluosi matricsau yn gymudol. Gellir lluosi unrhyw fatrics â sgalar fesul elfen. Fel arfer dynodir matricsau gan ddefnyddio priflythrennau [[Yr wyddor Ladin|Lladin]] fel <math>A</math>, <math>B</math> a <math>C</math>.<ref name=":2">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-19|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>
Fe elwir yr eitemau unigol mewn matrics ''m'' × ''n'' matrics yn ''elfennau'' neu ''gofnodion''. Ar gyfer matrics '''A''', yn aml ddynodir yr elfen mewn rhes ''i'' a cholofn ''j'' gan ''a<sub>i,j</sub>.''<ref>{{Cite book|last=Young|first=Cynthia|title=Precalculus|publisher=Laurie Rosatone|page=727}}</ref><ref>{{Cite web|title=Matrices|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-introduction.html|access-date=2020-08-19|website=www.mathsisfun.com}}</ref>
 
== Sylfeini ==
 
=== Diffiniad ===
Gallwn diffinio ''lluosi'' dau fatrics os ac yn unig os yw nifer colofnau'r matrics chwith yr un peth â nifer y rhesi o'r matrics dde. Os yw '''A''' yn fatrics ''m'' x ''n'' a mae '''B''' yn fatrics ''n'' x ''p'', yna eu ''luoswm'' '''AB''' yw'r matrics ''m'' x ''p'' y rhoddir ei gofnodion gan ''luoswm dot'' y rhes gyfatebol o '''A''' a'r colofn cyfatebol '''B''':<ref name=":5">{{Cite web|title=How to Multiply Matrices|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-multiplying.html|access-date=2020-08-19|website=www.mathsisfun.com}}</ref>
Mae ''matrics'' yn arae hirsgwar o [[Rhif|rifau]] (neu wrthrychau mathemategol eraill) y diffinnir gweithrediadau fel adio a lluosi ar eu cyfer.<ref>{{Cite book|edition=Revised Third Edition|title=Algebra|url=https://www.worldcat.org/oclc/48176673|location=New York|isbn=0-387-95385-X|oclc=48176673|last=Lang, Serge, 1927-2005,}}</ref> Yn fwyaf cyffredin, mae matrics dros faes ''F'' yn arae hirsgwar o sgalarau, y mae pob un ohonynt yn aelod o ''F.''<ref>{{Cite book|edition=2d ed|title=A first course in abstract algebra|url=https://www.worldcat.org/oclc/2344185|publisher=Addison-Wesley Pub. Co|date=1976|location=Reading, Mass.|isbn=0-201-01984-1|oclc=2344185|last=Fraleigh, John B.}}</ref><ref>{{Cite book|title=Elementary linear algebra|url=https://www.worldcat.org/oclc/810127|publisher=W.B. Saunders Co|date=1974|location=Philadelphia|isbn=0-7216-6755-4|oclc=810127|last=Nering, Evar D.}}</ref> Er enghraifft, mae hwn yn fatrics real:
 
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
 
== Diffiniad ==
Mae ''matrics'' yn arae hirsgwar o [[Rhif|rifau]] (neu wrthrychau mathemategol eraill) y diffinnir gweithrediadau fel adio a lluosi ar eu cyfer. Yn fwyaf cyffredin, mae matrics dros maes ''F'' yn arae hirsgwar o sgalarau, y mae pob un ohonynt yn aelod o ''F.'' Er enghraifft, mae hwn yn fatrics real:
 
: <math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
-1.3 & 0.6 \\
20.4 & 5.5 \\
\end{bmatrix}.</math>
 
Gelwir y rhifau, symbolau, neu ymadroddion yn y matrics yn ''gofnodion'' neu'n ''elfennau'' . Gelwir llinellau llorweddol a fertigol y cofnodion mewn matrics yn ''rhesi'' a ''cholofnau'', yn y drefn honno.
 
Diffinnir maint matrics yn ôl nifer y rhesi a'r colofnau sydd ganddo. Gelwir matrics sydd ag ''m'' rhes ''ac'' ''n'' colofn yn fatrics ''m''×''n''. Gelwir ''m'' ac ''n'' yn ''ddimensiynau'' y matrics. Er enghraifft, mae'r matrics '''A''' uchod yn fatrics 3×2.
 
=== Maint ===
Gelwir matricsau â rhes sengl yn ''fectorau rhes'', a gelwir y rhai ag un golofn yn ''fectorau colofn''. Gelwir matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau yn ''fatrics sgwâr''.<ref name=":4">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Matrix|url=https://mathworld.wolfram.com/Matrix.html|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Gelwir matrics â nifer anfeidrol o resi neu golofnau (neu'r ddau) yn ''fatrics anfeidrol''. Mewn rhai cyd-destunau mae'n ddefnyddiol ystyried matrics heb resi na cholofnau, hwn yw'r ''matrics gwag''.
Diffinnir maint matrics yn ôl nifer y rhesi a'r colofnau sydd ganddo. Gelwir matrics sydd ag ''m'' rhes ''ac'' ''n'' colofn yn fatrics ''m''×''n''. Gelwir ''m'' ac ''n'' yn ''ddimensiynau''<nowiki/>'r matrics. Er enghraifft, mae'r matrics '''A''' uchod yn fatrics 3×2. Gelwir matricsau â rhes sengl yn ''fectorau rhes'', a gelwir y rhai ag un golofn yn ''fectorau colofn''. Gelwir matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau yn ''fatrics sgwâr''.<ref name=":4">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Matrix|url=https://mathworld.wolfram.com/Matrix.html|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Gelwir matrics â nifer anfeidrol o resi neu golofnau (neu'r ddau) yn ''fatrics anfeidrol''. Mewn rhai cyd-destunau mae'n ddefnyddiol ystyried matrics heb resi na cholofnau, hwn yw'r ''matrics gwag''.
{| class="wikitable"
|+Trosolwg o faint matrics
|-
! scope="col" | Fector colofn
| ''n''×1
| style="text-align:center;" |<math>\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix}</math>
| Matrics gydag un golofn, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli fector.
|-
! scope="col" | Matrics sgwâr
| ''n''×''n''
| style="text-align:center;" |<math>\begin{bmatrix}
9 & 13 & 5 \\
2 & 6 & 3
\end{bmatrix}</math>
| Matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli trawsffurfiad llinol o ofod fector iddo'i hun, megis adlewyrchiad neu cylchdroigylchdroi.
|}
 
=== Nodiant ===
Yn aml ysgrifennir matricsau mewn cromfachau sgwâr neu cromfachaugromfachau groncrwn:
 
: <math>\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
</math>
 
Mae nodiant matrics yn amrywio'n fawr, ond mae rhai gonfensiynnauconfensiynau cyffredinol. Fel arfer, defnyddir priflythrennau (fel '''A''' yn yr enghreifftiau uchod) i dynodiddynodi matrics<ref name=":2">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-19|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref name=":2" /> tra defnyddir y llythrennau bach cyfatebol gyda dau indecs isysgrif ''(ee,'' ''a<sub>11</sub>'' neu ''a<sub>1,1</sub>'') i gynrychioli'r cofnodion. Yn ogystal â defnyddio priflythrennau i dynodiddynodi matricsau, mae llawer o awduron yn defnyddio arddull argraffyddol arbennig, yn aml fontffont trwm unionsyth (nid yn italig), i wahaniaethu ymhellach rhwng matricsau a gwrthrychau mathemategol eraill.
 
Weithiau cyfeirir at yr elfen yn y ''i''-fed rhes a'r ''j''-fed golofn o matricsfatrics '''A''' fel yr ''i,j,'' ''(i,'' ''j),'' neu ''(i,'' ''j)''fed cofnod y matrics. Dynodir yn gyffredin gan ''a<sub>i,j</sub>'', neu a<sub>ij</sub>. Rhai nodiannau amgen ar gyfer y cofnod hwnnw yw ''A''[''i, j''] neu ''A<sub>i,j</sub>'' . Er enghraifft, mae'r (1,3) mynediad y matrics canlynol '''A''' yw 5 (ddynodir hefyd yn ''a<sub>13</sub>'', ''a<sub>1,3</sub>'', ''A[1,3]'' neu ''A<sub>1,3</sub>''.
 
: <math>\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
4 & -7 & \color{red}{5} & 0 \\
-2 & 0 & 11 & 8 \\
19 & 1 & -3 & 12
\end{bmatrix}</math>
Dynodir set yr holl matricsau ''m'' x ''n'' gan 𝕄(''m'', ''n'').
 
: <math>\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{bmatrix}
 
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 3\\
\end{bmatrix},
</math>
 
== Gweithrediadau sylfaenol ==
Mae yna nifer o weithrediadau sylfaenol y gellir eu defnyddio i addasu matricsau, er enghraifft ''adio matrics'', ''lluosi sgalar'', ''trawsddodiad'', a ''lluosi matrics''.<ref name=":0">{{Cite book|title=Matrices and vector spaces|url=https://www.worldcat.org/oclc/23014977|publisher=M. Dekker|date=1991|location=New York|isbn=0-8247-8419-7|oclc=23014977|last=Brown, William C. (William Clough), 1943-}}</ref>
 
=== Ychwanegiad, lluosi sgalar, a thrawsosod ===
|-
! scope="row" | Adio
| Cyfrifir s''wm'' '''A''' + '''B''' dau matricsfatrics ''m'' x ''n'' '''A''' a '''B''' fesul elfen:
 
: ('''A''' + '''B'''){{Sub|''i'',''j''}} = '''A'''{{Sub|''i'',''j''}} + '''B'''{{Sub|''i'',''j''}}, lle 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' ac 1 ≤ ''j'' ≤ ''n'' .
: (c'''A''')''<sub>i,j</sub>'' = c · '''A'''''<sub>i,j</sub>''.
 
Gelwir y weithrediadgweithrediad honhwn yn ''lluosi sgalar'', ond nid yw ei ganlyniad yn cael ei enwi'n "gynnyrch graddfa" oherwydd defnyddir y term hwnnw arear gyfer rhywbeth arall.
|<math>2 \cdot
 
|-
! scope="row" | Trawsddodiad
| ''Trawsosod'' matrics ''m'' x ''n'' '''A''' yw'r matrics ''n'' x ''m'' '''A'''{{Uwchysgrif|T}} (weithiau wedi dynoddynodi '''A'''{{Uwchysgrif|tr}} neu {{Uwchysgrif|t}}'''A)''' a ffurfiwyd gan droi i mewn i rhesiresi golofnau ac i'r gwrthwyneb:
 
: ('''A'''<sup>T</sup>)''<sub>i, j</sub>'' = '''A'''''<sub>j, i</sub>''.
</math>
|}
Mae priodweddau cyfarwydd rhifau yn ymestyn i'r gweithrediadau matricsau hyn: er enghraifft, mae adio yn gymudol, hynny yw, nid yw'r swm matrics yn dibynnu ar drefn yry symiau: '''A'''+'''B'''='''B'''+'''A'''.<ref name=":0" /> Mae'r trawsddodiad yn ymddwyn fel y disgwyl gydag adio a lluosi sgalar, e.e. (''c'''''A'''){{Uwchysgrif|T}} = ''c''('''A'''{{Uwchysgrif|T}}) ac ('''A''' + '''B'''){{Uwchysgrif|T}} = '''A'''{{Uwchysgrif|T}} + '''B'''{{Uwchysgrif|T}}, ac ('''A'''{{Uwchysgrif|T}}){{Uwchysgrif|T}} = '''A'''.
 
=== Lluosi matrics ===
[[Delwedd:MatrixMultiplication.png|bawd|300x300px|Darlun o luosi matrics '''AB''' dau fatrics '''A''' a '''B'''.]]Gallwn ddiffinio ''lluosi'' dau fatrics os ac yn unig os yw nifer colofnau'r matrics chwith yr un peth â nifer y rhesi o'r matrics de. Os yw '''A''' yn fatrics ''m'' x ''n'' ac mae '''B''' yn fatrics ''n'' x ''p'', yna eu ''luoswm'' '''AB''' yw'r matrics ''m'' x ''p'' y rhoddir ei gofnodion gan ''lluoswm dot'' y rhes gyfatebol o '''A''' a'r golofn gyfatebol '''B''':<ref name=":5">{{Cite web|title=How to Multiply Matrices|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-multiplying.html|access-date=2020-08-19|website=www.mathsisfun.com}}</ref>
[[Delwedd:MatrixMultiplication.png|bawd|300x300px|Darluniad sgematig o luoswm matrics '''AB''' dau fatrics '''A''' a '''B'''.]]
:<span id="matrix_product"><math>[\mathbf{AB}]_{i,j} = a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j} + \cdots + a_{i,n}b_{n,j} = \sum_{r=1}^n a_{i,r}b_{r,j},</math></span>
 
lle 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' ac 1 ≤ ''j'' ≤ ''p''. Er enghraifft, caiff y cofnod wedi'i danlinellu 2340 ei gyfrifo o (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:
: <span id="matrix_product"><math>[\mathbf{AB}]_{i,j} = a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j} + \cdots + a_{i,n}b_{n,j} = \sum_{r=1}^n a_{i,r}b_{r,j},</math></span>
 
:<math>
lle 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' ac 1 ≤ ''j'' ≤ ''p''.<ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition I.2.20}}</ref> Er enghraifft, caiff y cofnod wedi'i danlinellu 2340 ei gyfrifo o (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:
 
: <math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
</math>
 
Pryd bynnag mae'r lluosi hyn wedi'u diffinio, mae lluosi matrics yn bodloni'r rheolau ('''AB''')'''C''' = '''A'''('''BC'''), hynny yw cysylltiadedd; ('''A''' + '''B''')'''C''' = '''AC''' + '''BC''' ac '''C'''('''A''' + '''B''') = '''CA''' + '''CB''', hynny yw mae'n dosbartholddosbarthol o'r chwith ac o'r dde).<ref>{{Harvard citations|last1name=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Theorem":0" I.2.24}}</ref>. Efallai bod '''AB''' wedi'i ddiffinio ond nid yw '''BA''', oherwydd meintiau'r maricsaumatricsau '''A''' a '''B'''. Hyd yn oed os yw'r ddau luoswm wedi'u diffinio, yn gyffredinol ni fyddant yn gyfartal, hynny yw: '''AB''' ≠ '''BA'''.
 
Mewn geiriau eraill, <span id="non_commutative">nid yw lluosi matrics yn gymudol ,</span> mewn cyferbyniad amlwg â rhifau cymarebol, real a chymhlyg, lle mae eu lluosymiau yn annibynnol ar drefn y ffactorau.<ref name=":5">{{Cite web|title=How to Multiply Matrices|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-multiplying.html|access-date=2020-08-19|website=www.mathsisfun.com}}</ref> Enghraifft o ddau fatrics nad ydynt yn cymudo â'i gilydd yw:
: '''AB''' ≠ '''BA'''.
 
:<math>\begin{bmatrix}
Mewn geiriau eraill, <span id="non_commutative">nid yw lluosi matrics yn gymudol ,</span> mewn cyferbyniad amlwg â rhifau cymarebol, real a chymhlyg, lle mae eu luosymiau yn annibynnol ar drefn y ffactorau.<ref name=":5">{{Cite web|title=How to Multiply Matrices|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-multiplying.html|access-date=2020-08-19|website=www.mathsisfun.com}}</ref> Enghraifft o ddau fatrics nad ydynt yn cymudo â'i gilydd yw:
 
: <math>\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
tra bod
 
:<math>\begin{bmatrix}
: <math>\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.</math><ref name=":3">{{Cite web|title=Matrix {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/matrix-mathematics|access-date=2020-08-19|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref>
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{bmatrix}
 
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 3\\
\end{bmatrix},
</math>
 
== MatricsMatricsau sgwâr ==
Matrics sgwâr yw matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau.<ref name=":4">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Matrix|url=https://mathworld.wolfram.com/Matrix.html|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Gellir ychwanegu a lluosi unrhyw ddau fatrics sgwâr o'r un maint. Mae'r cofnodion ''a''{{Sub|''ii''}} yn ffurfio ''prif groeslin'' y matrics sgwâr. Maent yn gorwedd ar y llinell ddychmygol sy'n rhedeg o'r gornel chwith uchaf i gornel dde isaf y matrics.
 
=== Prif fathau ===
Mae'n fatrics sgwâr o drefn ''n'', a hefyd yn fath arbennig o fatrics croeslin. Fe'i gelwir yn fatrics unfathol oherwydd nad yw lluosi ag ef yn newid matrics:
 
: '''AI'''''<sub>n</sub>'' = '''I'''''<sub>m</sub>'''''A''' = '''A''' ar gyfer unrhyw matricsfatrics ''m'' x ''n'' '''A'''.
 
==== Matrics gwrthdroadwy a'i wrthdro ====
Gelwir matrics sgwâr '''A''' yn ''gwrthdroadwy'' neu'n ''anhynod'' os bodoler matrics '''B''' fel bod
 
: '''AB''' = '''BA''' = '''I'''{{Sub|''n''}},<ref>{{Harvard citations|last1name=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition I.2.28}}</ref><ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition":0" I.5.13}}</ref>
 
lle '''I'''{{Sub|''n''}} yw'r matrics unfathol ''n'' × ''n''. Os yw '''B''' yn bodoli, mae'n unigryw ac fe'i gelwir yn ''fatrics gwrthdro'' '''A''', a'i ddynodirdynodir gan '''A'''{{Uwchysgrif|−1}}.
 
=== Prif weithrediadau ===
 
==== Olin ====
Olin matrics sgwâr '''A''' yw swm ei gofnodion croeslin, a ddyniodirddynodir gan tr('''A'''). Er nad yw lluosi matrics yn gymudol fel y soniwyd uchod, mae olinau luoswm dau fatrics yn annibynnol o drefn y ffactorau: tr('''AB''') = tr('''BA'''). Hefyd, mae olin matrics yn hafal i olin ei drawsddodiad, hynny yw, tr('''A''') = tr('''A'''<sup>T</sup>).
 
: tr('''AB''') = tr('''BA''').
 
Mae hyn yn syth o'r diffiniad o luosi matrics:
 
Hefyd, mae olin matrics yn hafal i olin ei drawsddodiad, hynny yw,
 
: tr('''A''') = tr('''A'''<sup>T</sup>).
 
==== Determinant ====
''Determinant'' matrics sgwâr '''A''' (a ddynodir gan det('''A''') neu |'''A'''|<ref name=":2">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-19|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>) yw rhif sy'n disgrifio rhai priodweddau penodol y matrics. Mae matrics yn wrthdroadwy [[os ac yn unig os]] yw ei determinant yn di-sero. Rhoddir determinant matricsau 2 x 2 gan
 
<math>\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.</math><ref name=":3">{{Cite web|title=Matrix {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/matrix-mathematics|access-date=2020-08-19|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref>
Rhoddir determinant matricsau 2 x 2 gan
 
Mae fformiwla Leibniz yn cyffredinoli'r fformiwla hon i bob dimensiwn.<ref>{{Harvard citations|last1name=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition":0" III.2.1}}</ref>
 
==== EigenvaluesGwerthoedd aceigen eigenvectorsa fectorau eigen ====
Gelwir rhif λ a fector di-sero '''v''' sy'n bodloni
 
: '''Av''' = λ'''v'''
 
yn ''werth eigen'' a ''fector'' ''eigen'' o '''A''', yn y drefn honno.<ref>{{Harvard citations|last1name=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition":0" III.4.1}}</ref> Mae'r rhif λ yn werth eigen matrics ''n'' × ''n'' '''A''' os ac yn unig os nad yw '''A''' −λ'''I'''{{Sub|''n''}} yn wrthdroadwy, sy'n cyfateb i
 
: <math>\det(\mathsf{A}-\lambda \mathsf{I}) = 0.</math>
 
== NodiadauCyfeiriadau ==
{{Cyfeiriadau|30em}}
 
== Cyfeiriadau ==
 
* {{Citation|last=Anton|first=Howard|title=Elementary Linear Algebra|year=1987|edition=5th|place=New York|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|isbn=0-471-84819-0}}
* {{Citation|last=Arnold|first=Vladimir I.|title=Ordinary differential equations|year=1992|place=Berlin, DE; New York, NY|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=978-3-540-54813-3|last2=Cooke|first2=Roger|author-link=Vladimir Arnold|author-link2=Roger Cooke}}
* {{Citation|last=Artin|first=Michael|title=Algebra|year=1991|publisher=[[Prentice Hall]]|isbn=978-0-89871-510-1|author-link=Michael Artin}}
* {{Citation|last=Association for Computing Machinery|title=Computer Graphics|year=1979|publisher=Tata McGraw–Hill|isbn=978-0-07-059376-3}}
* {{Citation|last=Baker|first=Andrew J.|title=Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory|url=https://archive.org/details/matrixgroupsintr0000bake|year=2003|place=Berlin, DE; New York, NY|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-1-85233-470-3}}
* {{Citation|last=Bau III|first=David|title=Numerical linear algebra|year=1997|place=Philadelphia, PA|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics|isbn=978-0-89871-361-9|last2=Trefethen|first2=Lloyd N.|author-link2=Lloyd N. Trefethen}}
* {{Citation|last=Beauregard|first=Raymond A.|title=A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields|url=https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau|year=1973|place=Boston|publisher=[[Houghton Mifflin Co.]]|isbn=0-395-14017-X|last2=Fraleigh|first2=John B.}}
* {{Citation|last=Bretscher|first=Otto|title=Linear Algebra with Applications|year=2005|edition=3rd|publisher=Prentice Hall}}
* {{Citation|last=Bronson|first=Richard|title=Matrix Methods: An Introduction|year=1970|place=New York|publisher=[[Academic Press]]|lccn=70097490}}
* {{Citation|last=Bronson|first=Richard|title=Schaum's outline of theory and problems of matrix operations|year=1989|place=New York|publisher=[[McGraw–Hill]]|isbn=978-0-07-007978-6}}
* {{Citation|last=Brown|first=William C.|title=Matrices and vector spaces|url=https://archive.org/details/matricesvectorsp0000brow|year=1991|place=New York, NY|publisher=[[Marcel Dekker]]|isbn=978-0-8247-8419-5}}
* {{Citation|last=Coburn|first=Nathaniel|title=Vector and tensor analysis|year=1955|place=New York, NY|publisher=Macmillan|oclc=1029828}}
* {{Citation|last=Conrey|first=J. Brian|title=Ranks of elliptic curves and random matrix theory|year=2007|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-69964-8}}
* {{Citation|last=Fraleigh|first=John B.|title=A First Course In Abstract Algebra|year=1976|edition=2nd|place=Reading|publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=0-201-01984-1}}
* {{Citation|last=Fudenberg|first=Drew|title=Game Theory|year=1983|publisher=[[MIT Press]]|last2=Tirole|first2=Jean|author-link2=Jean Tirole}}
* {{Citation|last=Gilbarg|first=David|title=Elliptic partial differential equations of second order|year=2001|edition=2nd|place=Berlin, DE; New York, NY|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-41160-4|last2=Trudinger|first2=Neil S.|author-link2=Neil Trudinger}}
* {{Citation|last=Godsil|first=Chris|title=Algebraic Graph Theory|volume=207|year=2004|series=Graduate Texts in Mathematics|place=Berlin, DE; New York, NY|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-95220-8|last2=Royle|first2=Gordon|author-link=Chris Godsil|author-link2=Gordon Royle}}
* {{Citation|last=Golub|first=Gene H.|title=Matrix Computations|year=1996|edition=3rd|publisher=Johns Hopkins|isbn=978-0-8018-5414-9|last2=Van Loan|first2=Charles F.|author-link=Gene H. Golub|author-link2=Charles F. Van Loan}}
* {{Citation|last=Greub|first=Werner Hildbert|title=Linear algebra|year=1975|series=Graduate Texts in Mathematics|place=Berlin, DE; New York, NY|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-90110-7}}
* {{Citation|last=Halmos|first=Paul Richard|title=A Hilbert space problem book|volume=19|year=1982|series=Graduate Texts in Mathematics|edition=2nd|place=Berlin, DE; New York, NY|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-90685-0|mr=675952}}
* {{Citation|last=Horn|first=Roger A.|title=Matrix Analysis|year=1985|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-38632-6|last2=Johnson|first2=Charles R.|author-link=Roger Horn|author-link2=Charles Royal Johnson}}
* {{Citation|last=Householder|first=Alston S.|title=The theory of matrices in numerical analysis|year=1975|place=New York, NY|publisher=[[Dover Publications]]|mr=0378371}}
* {{Citation|last=Kreyszig|first=Erwin|title=Advanced Engineering Mathematics|url=https://archive.org/details/advancedengineer00krey|year=1972|edition=3rd|place=New York|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|isbn=0-471-50728-8}}.
* {{Citation|last=Krzanowski|first=Wojtek J.|title=Principles of multivariate analysis|volume=3|year=1988|series=Oxford Statistical Science Series|publisher=The Clarendon Press Oxford University Press|isbn=978-0-19-852211-9|mr=969370}}
* {{Citation|title=Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV|year=1987|editor-last=Itô|editor-first=Kiyosi|edition=2nd|publisher=MIT Press|isbn=978-0-262-09026-1|mr=901762}}
* {{Citation|last=Lang|first=Serge|title=Analysis II|year=1969|publisher=[[Addison-Wesley]]|author-link=Serge Lang}}
* {{Citation|last=Lang|first=Serge|title=Calculus of several variables|url=https://archive.org/details/calculusofsevera0000lang|year=1987a|edition=3rd|place=Berlin, DE; New York, NY|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-96405-8}}
* {{Citation|last=Lang|first=Serge|title=Linear algebra|year=1987b|place=Berlin, DE; New York, NY|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-96412-6}}
* Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
* {{Citation|last=Latouche|first=Guy|title=Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling|year=1999|edition=1st|place=Philadelphia, PA|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics|isbn=978-0-89871-425-8|last2=Ramaswami|first2=Vaidyanathan}}
* {{Citation|last=Manning|first=Christopher D.|title=Foundations of statistical natural language processing|year=1999|publisher=MIT Press|isbn=978-0-262-13360-9|last2=Schütze|first2=Hinrich}}
* {{Citation|last=Mehata|first=K. M.|title=Stochastic processes|year=1978|place=New York, NY|publisher=McGraw–Hill|isbn=978-0-07-096612-3|last2=Srinivasan|first2=S. K.}}
* {{Citation|last=Mirsky|first=Leonid|title=An Introduction to Linear Algebra|url=https://books.google.com/?id=ULMmheb26ZcC&pg=PA1&dq=linear+algebra+determinant|year=1990|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-66434-7|author-link=Leon Mirsky}}
* {{Citation|last=Nering|first=Evar D.|title=Linear Algebra and Matrix Theory|year=1970|edition=2nd|place=New York|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|lccn=76-91646}}
* {{Citation|last=Nocedal|first=Jorge|title=Numerical Optimization|page=449|year=2006|edition=2nd|place=Berlin, DE; New York, NY|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-30303-1|last2=Wright|first2=Stephen J.}}
* {{Citation|last=Oualline|first=Steve|title=Practical C++ programming|year=2003|publisher=[[O'Reilly Media|O'Reilly]]|isbn=978-0-596-00419-4}}
* {{Citation|last=Press|first=William H.|title=Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing|url=http://www.mpi-hd.mpg.de/astrophysik/HEA/internal/Numerical_Recipes/f2-3.pdf|pages=34–42|year=1992|archive-url=https://web.archive.org/web/20090906113144/http://www.mpi-hd.mpg.de/astrophysik/HEA/internal/Numerical_Recipes/f2-3.pdf|chapter=LU Decomposition and Its Applications|edition=2nd|publisher=Cambridge University Press|archive-date=2009-09-06|last2=Flannery|first2=Brian P.|last3=Teukolsky|first3=Saul A.|last4=Vetterling|first4=William T.|author-link3=Saul Teukolsky}}
* {{Citation|last=Protter|first=Murray H.|title=College Calculus with Analytic Geometry|year=1970|edition=2nd|place=Reading|publisher=[[Addison-Wesley]]|lccn=76087042|last2=Morrey, Jr.|first2=Charles B.}}
* {{Citation|last=Punnen|first=Abraham P.|title=The traveling salesman problem and its variations|year=2002|place=Boston, MA|publisher=Kluwer Academic Publishers|isbn=978-1-4020-0664-7|last2=Gutin|first2=Gregory}}
* {{Citation|last=Reichl|first=Linda E.|title=The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations|year=2004|place=Berlin, DE; New York, NY|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-98788-0|author-link=Linda Reichl}}
* {{Citation|last=Rowen|first=Louis Halle|title=Graduate Algebra: noncommutative view|year=2008|place=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-0-8218-4153-2}}
* {{Citation|last=Šolin|first=Pavel|title=Partial Differential Equations and the Finite Element Method|year=2005|publisher=[[Wiley-Interscience]]|isbn=978-0-471-76409-0}}
* {{Citation|last=Stinson|first=Douglas R.|title=Cryptography|year=2005|series=Discrete Mathematics and its Applications|publisher=Chapman & Hall/CRC|isbn=978-1-58488-508-5}}
* {{Citation|last=Stoer|first=Josef|title=Introduction to Numerical Analysis|year=2002|edition=3rd|place=Berlin, DE; New York, NY|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-95452-3|last2=Bulirsch|first2=Roland}}
* {{Citation|last=Ward|first=J. P.|title=Quaternions and Cayley numbers|url=https://archive.org/details/quaternionscayle0000ward|volume=403|year=1997|series=Mathematics and its Applications|place=Dordrecht, NL|publisher=Kluwer Academic Publishers Group|doi=10.1007/978-94-011-5768-1|isbn=978-0-7923-4513-8|mr=1458894}}
* {{Citation|last=Wolfram|first=Stephen|title=The Mathematica Book|year=2003|edition=5th|place=Champaign, IL|publisher=Wolfram Media|isbn=978-1-57955-022-6|author-link=Stephen Wolfram}}
374

golygiad