Mecaneg cwantwm: Gwahaniaeth rhwng fersiynau
Cynnwys wedi'i ddileu Cynnwys wedi'i ychwanegu
Glanhawr (sgwrs | cyfraniadau) |
Glanhawr (sgwrs | cyfraniadau) |
||
Llinell 95:
==Systemau sylfaenol==
===Gronyn mewn blwch===
Un o'r systemau symlaf y gellir canfod datrysiadau analytig ar ei chyfer yw'r gronyn mewn blwch. Yn y system hon, mae gronyn yn bodoli o fewn potensial ffynnon sgwâr un dimensiwn gyda'r hyd ''L''. Hynny yw y tu mewn i'r blwch (0 < ''x'' < ''L'') mae'r egni potensial, V(x), yn hafal i 0 ac ar y muriau (''x'' = 0, ''L'') mae'r egni potensial yn codi'n sydyn i anfeidredd. Yn glasurol gellir meddwl am y system hon fel gronyn yn teithio yn ôl ac ymlaen ac yn gwrthdaro gyda'r muriau heb golli egni na momentwm iddynt.
===Datrysiad===
Gan fod yr egni potensial yn hafal i 0, mae ffurf hafaliad Schrödinger fel a ganlyn:
::<math>-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} = i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}</math>
Gellir rhannu'r hafaliad differol rhannol hwn i mewn i ddau hafaliad differol cyffredin drwy dybio y gellir mynegi'r ton ffwythiant fel:
::<math>\Psi(x, t) = \psi_1(x) \psi_2(t)</math>
Mae hyn yn rhoi hafaliad sy'n dibynnu ar amser ''t'':
::<math>i\hbar\dfrac{d\psi_2(t)}{dt} = E\psi_2(t)</math>
ac yn fwy arwyddocaol hafaliad sy'n dibynnu ar safle ''x'':
::<math>-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2\psi_1(x)}{dx^2} = E\psi_1(x)</math>
Yn y ddau hafaliad uchod, cysonyn ''E'' yw'r egni. Ar ôl datrys y ddau hafaliad a chyfuno'r ddau ddatrysiad ceir y ton ffwythiant:
::<math>\Psi(x, t) = [A\sin(kx) + B\cos(kx)]e^{iwt}</math>
Fodd bynnag, gan fod y gronyn yn wedi'i gyfyngu y tu mewn i'r blwch, ni all fodoli y tu allan i'r blwch ac felly mae'n rhaid bod osgledd y ton ffwythiant yn hafal i 0 ymhoban heblaw am rhwng ''x'' = 0 ac ''x'' = ''L''. Felly mae'n rhaid i'r tonffwythiant fynd i 0 ar y muriau ac er mwyn sicrhau hyn fe osodwn ddau amod ffin:
# <math>\psi_2(0) = 0</math>
# <math>\psi_2(L) = 0</math>
Mae ''A''sin(''kx'') = 0, pan mae ''x'' = 0, ac felly mae hyn ddatrysiad derbyniol. Ar y llaw arall mae ''B''cos(''kx'') = ''B'' pan mae ''x'' = 0 felly nid yw'r rhan hwn o'r ffwythiant yn dderbyniol. Er mwyn boddhau yr ail amod ffin mae'n rhaid bod sin(''kx'') hafal i 0, ac mae hyn yn hwir os:
::<math>k = \dfrac{n\pi}{L}</math> ble <math>n = 1,2,3...</math>
Er y byddai ''n'' = 0 yn foddhaol yn fathemategol, nid ydyw'n dderbyniol yn ffisegol gan y byddai'r tonffwythiant yn 0 ymhobman a byddai'r ansicrwydd ym momentwm y gronyn yn union yn 0 sy'n torri'r egwyddor ansicrwydd. Felly y gyfres o donffwythiannau a gawn yw:
<math>\Psi(x,t) = A\sin(\frac{n\pi x}{L})e^{iw_nt}</math>
gydag egni sydd wedi ei gwanteiddio gan ''n'':
<math> E_n = \dfrac{h^2 n^2}{2mL^2}</math>
===Normaleiddiad===
===Osgiliadur harmonig cwantwm ===
===Atom hydrogen===
| |||