Saith Pont Königsberg: Gwahaniaeth rhwng fersiynau

Cynnwys wedi'i ddileu Cynnwys wedi'i ychwanegu
tacluso
Llinell 1:
[[Delwedd:Konigsberg_bridges.png|bawd|Map o Königsberg yn amser Euler, gan ddangos lleoliad y saith bont a'r afon [[Pregolya]].]]
Problem o fewn [[mathemateg]] a datryswydddatryswyd gan [[haniaethLeonhard graffiauEuler]] yw '''Saith Bont Königsberg''', afe ysbrydolwyd y broblem gan y ddinas yn [[Rwsia]] a elwir yn [[Kaliningrad]] erbyn hyn. Lleolir y ddinas ar lannau [[afon Pregolya]], ac mae rhan o'r ddinas yn gorwedd ar ddwy ynys fawr, a gysylltir a'i gilydd ac a'r tir mawr gan saith bont. Y cwestiwn i'w ddatrys oedd "a yw'n bosib cerdded ar daith sy'n croesi pob bont unwaith ac unwaith yn unig?".
 
Drwy ateb y broblem hon gosododd Leonhard y seilaiu ar gyfer theori (neu haniaeth) graffiau a [[topoleg|thopoleg]].<ref>Gweler: ''Shields, Rob (December 2012). 'Cultural Topology: The Seven Bridges of Königsburg 1736' in Theory Culture and Society 29. pp.43-57 and in versions online for a discussion of the social significance of Euler's engagement with this popular problem and its significance as an example of (proto-)topological understanding applied to everyday life.'' </ref>
 
First, Euler pointed out that the choice of route inside each land mass is irrelevant. The only important feature of a route is the sequence of bridges crossed. This allowed him to reformulate the problem in abstract terms (laying the foundations of [[graph theory]]), eliminating all features except the list of land masses and the bridges connecting them. In modern terms, one replaces each land mass with an abstract "[[:vertex (graph theory)|vertex]]" or node, and each bridge with an abstract connection, an "[[:edge (graph theory)|edge]]", which only serves to record which pair of vertices (land masses) is connected by that bridge. The resulting mathematical structure is called a [[:graph (mathematics)|graph]].
 
Problem a datryswyd gan [[haniaeth graffiau]] yw '''Saith Bont Königsberg''', a ysbrydolwyd gan y ddinas yn [[Rwsia]] a elwir yn [[Kaliningrad]] erbyn hyn. Lleolir y ddinas ar lannau [[afon Pregolya]], ac mae rhan o'r ddinas yn gorwedd ar ddwy ynys fawr, a gysylltir a'i gilydd ac a'r tir mawr gan saith bont. Y cwestiwn i'w ddatrys oedd "a yw'n bosib cerdded ar daith sy'n croesi pob bont unwaith ac unwaith yn unig?".
 
==Datrysiad Euler==
Ym [[1736]], profodd [[Leonhard Euler]] nad yw taith o'r fath yn bosib. I brofi hyn,; lluniodd Euler y broblem yn nhermau [[haniaeth graffiau]], trwydrwy haniaethu achos Königsberg — yn gyntaf, trwy anwybyddu popeth ar wahanwahân i darnauddarnau o dir a'r pontiau yn eu cysylltu;. a'n ail,Yn trwylle rhoidarn o dir rhoddodd smotyn (du a gelwiralwaodd yn [[graff (mathemateg)|'fertig]])' ac yn llehytrach pobna darnphont orhoddodd dir,linell a llinell (a gelwiralwodd yn 'ymyl) yn lle bob bont'. Gelwir y strwythyr mathemategol sy'n ganlyncanlynol yn ''graff'' (aml-graff, a bod yn fanwl gywir).:
<br clear="all">
<span style="font-size: 300%;">
Llinell 14 ⟶ 18:
Cyn belled a bod y cysylltiadau rhwng y fertigau'n aros yr un peth, gellir newid siap ein darlun o'r graff a lleoliad y fertigau heb newid y graff ei hun.
 
Sylweddolodd Euler fod modd datrys y broblem yn nhermau [[graff (mathemateg)|graddau]]'r fertigau. Gradd fertig yw'r nifer o ymylon sy'n cyffwrdd ag ef; yn y graff dan sylw, mae gan dri fertig gradd 3, ac mae gan un fertig gradd 5. Profodd Euler fod cylchred o'r fath yr oeddem yn ceisio yn bodoli [[os, a dim ond os]] y maeyw dau neu'n llailai o fertigau gyda gradd odrif. (Fe gelwirGelwir cylchred o'r fath yn [[cylchred Euler|gylchred Euler]]). Dyma oedd yn ei feddwl: pan fo person yn dod i bont, mae hefyd yn gadael y bont; mae 2 yn eilrif. Gan fod pedwar fertig â gradd odrif yn graff Königsberg, ni all fod gylchred Euler ganddo.
 
==Cyflwr presennol y pontydd==
Dinistrwyd ddwydwy o'r saith bont wreiddiol wrth i'r awyrlu brydeinigBrydeinig fomio Kaliningrad yn ystod yr [[Ail Ryfel Byd]]. Dymchwelwyd dwy arall ar olôl y rhyfel, a codwydchodwyd traffordd yn eu lle. Erys y tair arall, er i un ohonynt gael ei hail-adeiladu ym [[1935]].<ref>{{cite web |url=http://web.archive.org/web/20120319074335/http://www.amt.canberra.edu.au/koenigs.html |title=What ''Ever'' Happened to Those Bridges? |accessdate=2006-11-11 |last=Taylor |first=Peter |date=December 2000 |publisher=Australian Mathematics Trust}}</ref> Roedd yma, felly, yn 2,000 5 pont.
 
Yn nhermau haniaeth graffiau, mae gan ddau o'r fertigau gradd 2, a'r ddau arall gradd tri. Mae llwybr Euleraidd yn bosib heddiw felly, ond rhaid iddo gychwyn ar un ynys a gorffen ar un arall. Mae cerdded y llwybr yma'n eithriadol o boblogaidd gan ymwelwyr.<ref>{{cite web |url=http://www.csc.ncsu.edu/faculty/stallmann/SevenBridges/ |title=The 7/5 Bridges of Koenigsberg/Kaliningrad |accessdate=2006-11-11 |last=Stallmann |first=Matthias |date=Gorffennaf 2006}}</ref>
 
Mae Prifysgol Canterbury yn [[Christchurch]], [[Seland Newydd]] wedi codi model o'r pontydd a'r daith o'u cwmpas rhwng yr hen Lyfrgell Gwyddoniaeth ac Adeilad Erskine.<ref>{{Cite web|url= http://www.math.canterbury.ac.nz/php/about/|title=''About – Mathematics and Statistics – University of Canterbury''|work=math.canterbury.ac.nz|accessdate=Tachwedd 4, 2010}}</ref> Yn lle afon ceir llwyn bychan ac ar y prif ynys ceir [[tōrō]] o garreg. Ymgorfforwyd y broblem hefyd i'w system o bafinau gan ''Rochester Institute of Technology'' o flaen eu 'Canolfan Gene Polisseni', yn 2014.<ref>https://twitter.com/ritwhky/status/501529429185945600</ref>
 
==Cyfeiriadau==
Yn nhermau haniaeth graffiau, mae gan ddau o'r fertigau gradd 2, a'r ddau arall gradd tri. Mae llwybr Euleraidd yn bosib rŵan felly, ond rhaid iddo gychwyn ar un ynys a gorffen ar un arall
{{cyfeiriadau}}
 
[[Categori:Haniaeth Graffiau]]