Deddf niferoedd mawr

Mewn damcaniaeth tebygolrwydd, mae'r ddeddf niferoedd mawr yn theorem sy'n disgrifio canlyniad perfformio'r un arbrawf nifer fawr o weithiau. Yn ôl y ddeddf, dylai cyfartaledd y canlyniadau a geir o nifer fawr o dreialon fod yn agos at y gwerth disgwyliedig, a byddant yn tueddu i ddod yn agosach at y gwerth disgwyliedig wrth i fwy o dreialon gael eu cynnal.^[1]

Mae'r ddeddf yn bwysig oherwydd ei fod yn gwarantu canlyniadau tymor hir sefydlog ar gyfer cyfartaleddau rhai hapddigwyddiadau.^[1]^[2] Er enghraifft, er y gallai casino colli arian mewn un droell o'r olwyn rwlét, bydd ei enillion yn tueddu tuag at ganran ragweladwy dros nifer fawr o droellon. Yn y pen draw, bydd paramedrau'r gêm yn goresgyn unrhyw gyfnod lwcus gan chwaraewr. Mae'n bwysig cofio bod y gyfraith ond yn berthnasol (fel y mae'r enw'n nodi) pan ystyrir nifer fawr o arsylwadau. Does dim egwyddor yn dweud bydd nifer fach o arsylwadau yn cyd-fynd â'r gwerth disgwyliedig, neu y bydd cyfnod lwcus yn cael ei "gydbwyso" ar unwaith gan gyfnod anlwcus (fe elwir hwn yn gamsyniad y gamblwr).

Enghreifftiau

Efelychiad yn dangos y ddeddf niferoedd mawr. Ym mhob ffrâm, mae darn arian sy'n goch ar un ochr a glas ar yr ochr arall yn cael ei fflipio, ac ychwanegir dot yn y golofn gyfatebol. Mae siart cylch yn dangos cyfran y coch a'r glas hyd yn hyn. Sylwch, er bod y gyfran yn amrywio'n sylweddol ar y dechrau, mae'n agosáu at 50% wrth i nifer y treialon gynyddu.

Er enghraifft, mae tafliad sengl o ddis teg chwech ochrog yn cynhyrchu un o'r rhifau 1, 2, 3, 4, 5, neu 6, pob un â thebygolrwydd cyfartal. Felly, gwerth disgwyliedig cyfartaledd y rholiau yw:

{\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5

Yn ôl y ddeddf niferoedd mawr, os yw nifer fawr o ddis chwe ochr yn cael eu rholio, mae cyfartaledd eu gwerthoedd (a elwir hefyd yn gymedr y sampl) yn debygol o fod yn agos at 3.5, gyda'r manwl gywirdeb yn cynyddu wrth i fwy o ddis gael eu rholio.

Mae'n dilyn o'r ddeddf niferoedd mawr y bydd y tebygolrwydd empirig o lwyddo mewn cyfres o dreialon Bernoulli yn cydgyfeirio i'r tebygolrwydd damcaniaethol. Ar gyfer hapnewidyn Bernoulli, y gwerth disgwyliedig yw'r tebygolrwydd damcaniaethol o lwyddiant, a chyfartaledd n o'r hapnewidynnau hyn (gan dybio eu bod yn annibynnol ac wedi'u dosbarthu'n unfath) yw'r amledd cymharol.

Enghraifft o dreial Bernoulli yw taflu darn arian teg. Pan fydd darn arian teg yn cael ei fflipio unwaith, y tebygolrwydd damcaniaethol o gael pen yw 1/2. Felly, yn ôl y ddeddf niferoedd mawr, dylai cyfran y pennau mewn nifer "fawr" o fflipiau darn arian fod yn 1/2. Yn arbennig, bydd cyfran y pennau ar ôl n fflip bron yn sicr yn cydgyfeirio i 1/2 wrth i n agosáu at anfeidredd.

Enghraifft dda arall o'r ddeddf niferoedd mawr yw'r dull Monte Carlo. Defnyddir y dull hwn mewn dosbarth eang o algorithmau cyfrifiadol sy'n dibynnu ar hapsamplu tro ar ôl tro er mwyn cael canlyniadau rhifiadol. Po fwyaf yw nifer yr ailadroddiadau, y gorau y mae'r brasamcan yn tueddu i fod. Y rheswm pam mae'r dull hwn yn bwysig yw oherwydd weithiau mae'n anodd neu'n amhosibl defnyddio dulliau eraill.^[3]

Hanes

Mae trylediad yn enghraifft o'r ddeddf niferoedd mawr. I ddechrau, mae moleciwlau mewn hydoddiant ar ochr chwith rhyw rwystr (y llinell biws) a does dim moleciwlau ar y dde. Mae'r rhwystr yn cael ei dynnu, ac mae'r hydoddyn yn tryledu i lenwi'r cynhwysydd cyfan.

Uchaf: Gydag un moleciwl, mae'n ymddangos ei bod yn syniad ar hap.
Canol: Gyda mwy o foleciwlau, mae'n amlwg bod tuedd lle mae'r hydoddyn yn llenwi'r cynhwysydd yn fwyfwy unffurf, ond mae hefyd amrywiadau ar hap. Gwaelod: Gyda nifer enfawr o foleciwlau (gormod i'w gweld), mae'r amrywiadau ar hap wedi diflannu: Mae'n ymddangos bod yr hydoddyn yn symud yn esmwyth ac yn systematig o ardaloedd crynodiad uchel i ardaloedd crynodiad isel. Mewn sefyllfaoedd realistig, gall cemegwyr ddisgrifio trylediad fel ffenomen macrosgopig benderfyniadol (deddfau Fick), er gwaethaf ei natur ar hap sylfaenol.

Nododd y mathemategydd Eidalaidd Gerolamo Cardano (1501–1576) heb brawf bod cywirdeb ystadegau empirig yn tueddu i wella gyda nifer y treialon.^[4] Yna ffurfiolwyd hyn fel y ddeddf niferoedd mawr. Profwyd ffurf arbennig o'r ddeddf (ar gyfer hapnewidyn deuaidd) yn gyntaf gan Jacob Bernoulli.^[5] Cymerodd dros 20 mlynedd iddo ddatblygu prawf mathemategol digon trylwyr a gyhoeddwyd yn ei Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing) ym 1713. Fe enwodd hwn yn "Theorem Aur" ond fe'i gelwid yn gyffredinol yn "Theorem Bernoulli". Yn 1837, disgrifiodd Siméon Denis Poisson y ddeddf ymhellach o dan yr enw "la loi des grands nombres" ("y ddeddf niferoedd mawr").^[6] Wedi hynny, roedd yn hysbys o dan y ddau enw, ond defnyddir "deddf niferoedd mawr" amlaf.

Ar ôl i Bernoulli a Poisson gyhoeddi eu hymdrechion, cyfrannodd mathemategwyr eraill hefyd at fireinio'r ddeddf, gan gynnwys Chebyshev,^[7] Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov a Khinchin. Dangosodd Markov y gall y gyfraith fod yn berthnasol i hapnewidyn nad oes ganddo amrywiant meidrol o dan ryw dybiaeth wannach arall. Dangosodd Khinchin ym 1929, os yw'r gyfres yn cynnwys newidynnau ar hap a ddosberthir yn union yr un fath, mae'n ddigonol bod y gwerth disgwyliedig yn bodoli ar gyfer y ddeddf wan o niferoedd mawr i fod yn wir.^[8]^[9] Mae'r astudiaethau pellach hyn wedi arwain at ddwy ffurf amlwg o'r ddeddf niferoedd mawr. Gelwir un yn ddeddf "wan" a'r llall yn ddeddf "gryf", gan gyfeirio at ddau fodd gwahanol o gydgyfeiriant gwerthoedd cyfartalog cronnus y sampl i'r gwerth disgwyliedig. Yn benodol mae'r ffurf gref yn awgrymu'r gwan.^[8]

Nodiadau

↑ ^1.0 ^1.1 Dekking, Michel (2005). A Modern Introduction to Probability and Statistics. Springer. tt. 181–190. ISBN 9781852338961.
↑ Yao, Kai; Gao, Jinwu (2016). "Law of Large Numbers for Uncertain Random Variables". IEEE Transactions on Fuzzy Systems 24 (3): 615–621. doi:10.1109/TFUZZ.2015.2466080. ISSN 1063-6706.
↑ Kroese, Dirk P.; Brereton, Tim; Taimre, Thomas; Botev, Zdravko I. (2014). "Why the Monte Carlo method is so important today" (yn en). Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics 6 (6): 386–392. doi:10.1002/wics.1314.
↑ Mlodinow, L. The Drunkard's Walk. New York: Random House, 2008. p. 50.
↑ Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4, (Translated into English by Oscar Sheynin)
↑ Poisson names the "law of large numbers" (la loi des grands nombres) in: S.D. Poisson, Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés (Paris, France: Bachelier, 1837), p. 7. He attempts a two-part proof of the law on pp. 139–143 and pp. 277 ff.
↑ Tchebichef, P. (1846). "Démonstration élémentaire d'une proposition générale de la théorie des probabilités". Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846 (33): 259–267. doi:10.1515/crll.1846.33.259. https://zenodo.org/record/1448850.
↑ ^8.0 ^8.1 Seneta 2013.
↑ Yuri Prohorov. "Law of large numbers". Encyclopedia of Mathematics.

Cyfeiriadau

Grimmett, G. R.; Stirzaker, D. R. (1992). Probability and Random Processes, 2nd Edition. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-853665-8.
Richard Durrett (1995). Probability: Theory and Examples, 2nd Edition. Duxbury Press.
Martin Jacobsen (1992). Videregående Sandsynlighedsregning (Advanced Probability Theory) 3rd Edition. HCØ-tryk, Copenhagen. ISBN 87-91180-71-6.
Loève, Michel (1977). Probability theory 1 (arg. 4th). Springer Verlag.
Newey, Whitney K.; McFadden, Daniel (1994). Large sample estimation and hypothesis testing. Handbook of econometrics, vol. IV, Ch. 36. Elsevier Science. tt. 2111–2245.
Ross, Sheldon (2009). A first course in probability (arg. 8th). Prentice Hall press. ISBN 978-0-13-603313-4.
Sen, P. K; Singer, J. M. (1993). Large sample methods in statistics. Chapman & Hall, Inc.
Seneta, Eugene (2013), "A Tricentenary history of the Law of Large Numbers", Bernoulli 19 (4): pp. 1088–1121, arXiv:1309.6488, doi:10.3150/12-BEJSP12

[:0-1] 1.0 ^1.1 Dekking, Michel (2005). A Modern Introduction to Probability and Statistics. Springer. tt. 181–190. ISBN 9781852338961.

[2] Yao, Kai; Gao, Jinwu (2016). "Law of Large Numbers for Uncertain Random Variables". IEEE Transactions on Fuzzy Systems 24 (3): 615–621. doi:10.1109/TFUZZ.2015.2466080. ISSN 1063-6706.

[3] Kroese, Dirk P.; Brereton, Tim; Taimre, Thomas; Botev, Zdravko I. (2014). "Why the Monte Carlo method is so important today" (yn en). Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics 6 (6): 386–392. doi:10.1002/wics.1314.

[4] Mlodinow, L. The Drunkard's Walk. New York: Random House, 2008. p. 50.

[5] Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4, (Translated into English by Oscar Sheynin)

[6] Poisson names the "law of large numbers" (la loi des grands nombres) in: S.D. Poisson, Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés (Paris, France: Bachelier, 1837), p. 7. He attempts a two-part proof of the law on pp. 139–143 and pp. 277 ff.

[7] Tchebichef, P. (1846). "Démonstration élémentaire d'une proposition générale de la théorie des probabilités". Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846 (33): 259–267. doi:10.1515/crll.1846.33.259. https://zenodo.org/record/1448850.

[FOOTNOTESeneta2013-8] 8.0 ^8.1 Seneta 2013.

[EncMath-9] Yuri Prohorov. "Law of large numbers". Encyclopedia of Mathematics.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]