Ffwythiant cyfri rhifau cysefin

Mewn mathemateg, y ffwythiant cyfri rhifau cysefin yw'r ffwythiant sy'n rhoi nifer y rhifau cysefin sy'n llai na neu'n hafal â rhyw rif real x. Fe'i dynodir gan (noder nad yw hyn yn cyfeirio i'r rhif π).

60 gwerth cyntaf π(n)

Mae cyfradd tyfiant y ffwythiant yn ddiddorol iawn yng nghyd-destyn haniaeth rhifau. Cynosododd Gauss a Legendre yn yr 18g fod y cyfradd oddeutu

 

neu, a bod yn fanwl gywir, fod

 

Dyma yw'r theorem rhifau cysefin.

Algorithmau i ganfod π(x)

golygu

Ffordd syml o ganfod  , os nad yw   yn rhy fawr, yw defnyddio gogr Eratosthenes i gynhyrchu'r rhifau cysefin sy'n llai na neu'n hafal ag  , ac yna'u cyfri.

Ddaw ddull coethach o ganfod   o du Legendre: cymerwn  , os yw   , …,   yn rhifau cysefin an-hafal, yna

 

yw nifer y cyfanrifau sy'n llai nag   a heb fod yn rhanadwy ag unrhyw   (dynoda   y ffwythiant llawr). Mae'r rhif hwn felly'n hafal â

 

lle mai   yw'r rhifau cysefin sy'n llai nau neu'n hafal ag ail isradd  .

Mewn cyfres o erthyglau a gyhoeddwyd rhwng 1870 a 1885, disgrifiodd Ernst Meissel dull cyfuniadol ymarferol o ganfod  . Cymerwn mai   , …,   yw'r   rhif cysefin cyntaf, a dynodwn gyda   nifer y rhifau naturiol sy'n llai na neu'n hafal ag   nad ydynt yn rhanadwy ag unrhyw  . Yna mae

 

Cymerwn rif naturiol  : os mae   a  , yna mae

 

Estynnwyd a symleiddwyd y dull hwn gan Derrick Henry Lehmer ym 1959. Diffiniwn, am   real ac   a   naturiol,   yn nifer y rhifau msy'n llai na neu'n hafal ag n gyda'n union k o ffactorau cysefin, pob un yn fwy na  . Ymhellach, gosodwn  . Yna mae

 

lle dim ond nifer meidraidd o dermau an-sero sydd gan y swm. Gadewn i   ddynodi cyfanrif sy'n bodlonni  , and gosod  . Yna mae   a   pan mae   ≥ 3. Felly mae

 

Gellir cyfrifo   fel a ganlyn:

 

Yn ogystal, gellir cyfrifo   gyda'r rheolau canlynol:

  1.  
  2.  

Anhafaleddau

golygu

Mae'r canlynol yn anhafaleddau defnyddiol ar gyfer π(x).

  ar gyfer x ≥ 17.
  ar gyfer x > 1.
  ar gyfer x ≥ 55.

Mae'r canlynol yn anhafaleddau ar gyfer yr nfed rhif cysefin, pn.

  ar gyfer n ≥ 6.

Mae'n anhafaledd ar y chwith yn ddilys ar gyfer n ≥ 1 a'r un ar y dde ar gyfer n ≥ 6.

Mae

 

yn frasamcan ar gyfer yr nfed rhif cysefin.