Gofod Baire

Mewn mathemateg, gofod topolegol yw gofod Baire, sydd (yn anffurfiol) yn fawr iawn, a chanddo digon o bwyntiau ar gyfer rhai prosesau terfannol. Fe'i henwyd ar ôl René-Louis Baire. Mae theorem categorïau Baire yn arf pwysig mewn topoleg a dadansoddi ffwythiannol. Mae dwy ffurf iddi, pob un yn rhoi amodau digonol er mwyn i ofod topolegol fod yn ofod Baire.

Diffiniad

Fe gelwir gofod topolegol yn ofod Baire os oes mewnedd gwag gan uniad unrhyw gasgliad rhifadwy o setiau caëdig gyda mewnedd gwag.

Mae'r canlynol yn gyfwerth â'r diffiniad uchod:

Mae trawstoriad casgliad rhifadwy o setiau agored dwys yn ddwys.
Prydbynnag mae pwynt mewnol gan uniad casgliad rhifadwy o setiau caëdig, yna rhaid fod pwynt mewnol gan un o'r setiau caëdig.

O.n. diffiniad cyfoes, ac nid diffiniad gwreiddiol Baire, yw'r uchod.

Diffiniad Baire

Diffiniodd Baire categorïau fel a ganlyn (O.n. does â wnelo hyn dim â damcaniaeth categorïau):

Fe gelwir is-set S o ofod topolegol X yn

ddwys-yn-nunlle yn X os yw mewnedd ei gaefa ${\bar {S}}$ yn wag
set tenau (categori cyntaf) yn X os yw'n uniad casgliad rhifadwy o setiau dwys-yn-nunlle
set tew (ail gategori) yn X os nad yw'n set tenau yn X.

Yna gellid diffinio gofod Baire fel a ganlyn: mae X yn ofod Baire os yw pob set an-wag agored yn dew. Mae hyn yn gyfwerth â'r diffiniad cyfoes.

Enghreifftiau

Mae'r set R o rifau real gyda'r topoleg arferol yn ofod Baire, ac felly'n dew yn ei hun. Mae'r rhifau cymarebol yn denau, a'r rhifau anghymarebol yn dew, yn R.
Mae set Cantor yn ofod Baire, ac felly'n dew yn ei hun, ond mae'n denau yn y cyfwng [0, 1].
D.s. nid yw'r gofod o rifau cymarebol (gyda'r topoleg a etifeddwyd o'r rhifau real) yn ofod Baire, gan ei fod yn uniad o gasgliad rhifadwy o setiau caëdig gyda mewnedd gwag: yr unigolion.

Priodweddau

Mae pob gofod Baire an-wag yn dew yn ei hun (ond nid yw pob ofod sy'n dew yn ei hun yn ofod Baire).
Mae trawstoriad casgliad rhifadwy o is-setiau o ofod Baire yn an-wag (ond nid yw'r gosodiad cyfdro yn wir).
Mae pob is-set agored mewn gofod Baire yn ofod Baire ynddo'i hun.
Ystyriwch gasgliad o ffwythiannau di-dor f_n:X→Y sy'n cydgyfeirio i'r ffwythiant f:X→Y. Os yw X yn ofod Baire, yna mae'r set o bwyntiau lle nad yw f yn ddi-dor yn denau yn X, ac mae'r set o bwyntiau lle mae f yn ddi-dor yn dew yn X.

Theorem categorïau Baire

Dyma dwy ffurf y theorem:

(BCT1) Mae pob gofod metrig cyflawn an-wag yn ofod Baire.
(BCT2) Mae pob gofod Hausdorff sy'n gryno'n lleol yn ofod Baire.

D.s. nad yw y naill o'r uchod yn ymhlygu'r llall, gan fod yna ofod cyflawn nad yw'n gryno'n lleol, a gofod Hausdorff nad yw'n mydradwy.

Perthynas â Gwireb Dewis

I brofi naill ai BCT1 neu BCT2, mae'n rhaid defnyddio rhyw ffurf o'r Wireb Dewis. Yn system ZF, mae BCT1 yn gyfwerth â "gwireb dewis dibynnol," ffurf wanach o'r wireb.

Defnyddio'r theorem

Dengys BCT1 fod pob gofod metrig cyflawn nad oes ganddo pwyntiau arwahanol yn anrifadwy. (os yw X yn ofod metrig cyflawn cyfradwy heb bwyntiau arwahanol, yna mae pob unigolyn {x} mewn X yn wag-yn-nunlle, ac mae X felly'n denau yn ei hun.) Yn benodol, dengys hyn fod y set o rifau real yn anrifadwy.

Mae'r erthygl hon yn cynnwys term neu dermau sydd efallai wedi eu bathu'n newydd sbon: set dwys, dwys-yn-nunlle, caefa, set tenau, set tew, gofod cyflawn, cryno'n lleol, mydradwy, Gwireb Dewis o'r Saesneg "dense set, nowhere dense, closure (of a set), meagre set, non-meagre set, complete space, locally compact, metrizable, the Axiom of Choice". Gallwch helpu trwy safoni'r termau.