Gofod topolegol

Mae gofodau topolegol yn strwythurau mathemategol, sy'n galluogi dealltwriaeth haniaethol, cyffredinol, a ffurfiol o gysyniadau megis cydgyfeiriant, cysylltiedigrwydd, a di-doredd. Maent yn ymddangos ymhob cangen o fathemateg cyfoes bron, ac yn gysyniad canolog sy'n dod a'r gwanhanol canghennau at ei gilydd. Mewn topoleg, fe astudir gofodau topologaidd fel gwrthrychau mathemategol annibynnol.

Diffiniad

Set yw gofod topolegol, ynghyd â chasgliad T o is-setiau o X sy'n bodlonni'r gwirebau canlynol:

1. Mae'r set gwag ac X ei hun yn aelodau o T.
2. Mae uniad unrhyw gasgliad (feidrol neu anfeidrol) o aelodau o T, hefyd yn aelod o T.
3. Mae trawsdoriad unrhyw bâr o aelodau o T yn aelod o T.

Mae'r casgliad T yn dopoleg ar X. Aelodau T yw'r setiau agored, ac mae cyflenwad yn X o bob elfen o "T" yn set caëdig. Gelwir elfennau X yn bwyntiau.

Trwy anwythiad, gwelem fod trawsdoriad unrhyw gasgliad feidrol o setiau agored yn agored. Fe fyddai'n bosib, felly, ailosod yn lle'r trydydd gwireb, fod angen i drawsdoriad nifer feidrol o aelodau o T fod yn aelod o T. Wedyn, fe allem hepgor y gwireb cyntaf, os derbyniwn y confensiwn mai'r set cyfan (X) yw'r trawsdoriad gwag, ac mae'r set gwag yw uniad y casgliad gwag. Fodd bynnag, tueddwn cynnwys y gwireb cyntaf bethbynnag, er eglyrdeb.

Ffwythiannau di-dor

Dywedir fod ffwythiant rhwng ofodau topologaidd yn ddi-dor, os yw cyflun gwrthdro pob set agored yn set agored. Ymgais yw hyn i haniaethu'r cysyniad reddfol nad oes "torriad" neu "fwlch" yn y ffwythiant. Os yw ffwythiant yn ddi-dor, yn un-i-un, ac â ffwythiant gwrthdro di-dor, fe ddywedir ei fod yn homeomorffiad. Dywedir fod dau ofod yn homeomorffig os fodola homeomorffiad rhyngthynt. O safbwynt topolegol, mae gofodau homeomorffig yn unfath yn y bôn.