Matrics

Mewn mathemateg, mae matrics yn arae hirsgwar neu dabl o rifau, symbolau, neu fynegiannau, wedi'u trefnu mewn rhesi a cholofnau. Er enghraifft, dimensiwn y matrics isod yw 2 × 3, oherwydd mae dwy res a thair colofn:

Matrics m × n: mae'r m rhes yn llorweddol ac mae'r n colofn yn fertigol. Yn aml, dynodir pob elfen o fatrics gan newidyn gyda dau danysgrifiad. Er enghraifft, mae a_2,1 yn cynrychioli'r elfen yn yr ail res a cholofn gyntaf y matrics.

${\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}.$

Fe elwir yr eitemau unigol mewn matrics m × n matrics yn elfennau neu gofnodion. Ar gyfer matrics A, yn aml ddynodir yr elfen mewn rhes i a cholofn j gan a_i,j.

Os oes ganddynt yr un maint (mae gan y matricsau yr un nifer o resi a'r un nifer o golofnau â'r llall), gellir adio neu dynnu dau fatrics fesul elfen. Y rheol ar gyfer lluosi matrics, fodd bynnag, yw y gellir lluosi dau fatrics ond pan mae nifer y colofnau yn y cyntaf yn hafal i nifer y rhesi'r ail. Hynny yw, mae eu dimensiynau mewnol yr un peth, n ar gyfer lluosi matrics (m × n) gan fatrics (n × p), sy'n cynhyrchu matrics (m × p). Ni ellir lluosi'r matricsau y ffordd arall o gwmpas, felly nid yw lluosi matricsau yn gymudol. Gellir lluosi unrhyw fatrics â sgalar fesul elfen. Fel arfer dynodir matricsau gan ddefnyddio priflythrennau Lladin fel $A$, $B$ a $C$.

Sylfeini

Diffiniad

Mae matrics yn arae hirsgwar o rifau (neu wrthrychau mathemategol eraill) y diffinnir gweithrediadau fel adio a lluosi ar eu cyfer. Yn fwyaf cyffredin, mae matrics dros faes F yn arae hirsgwar o sgalarau, y mae pob un ohonynt yn aelod o F. Er enghraifft, mae hwn yn fatrics real:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.$

Gelwir y rhifau, symbolau, neu ymadroddion yn y matrics yn gofnodion neu'n elfennau. Gelwir llinellau llorweddol a fertigol y cofnodion mewn matrics yn rhesi a cholofnau, yn y drefn honno.

Maint

Diffinnir maint matrics yn ôl nifer y rhesi a'r colofnau sydd ganddo. Gelwir matrics sydd ag m rhes ac n colofn yn fatrics m×n. Gelwir m ac n yn ddimensiynau'r matrics. Er enghraifft, mae'r matrics A uchod yn fatrics 3×2. Gelwir matricsau â rhes sengl yn fectorau rhes, a gelwir y rhai ag un golofn yn fectorau colofn. Gelwir matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau yn fatrics sgwâr. Gelwir matrics â nifer anfeidrol o resi neu golofnau (neu'r ddau) yn fatrics anfeidrol. Mewn rhai cyd-destunau mae'n ddefnyddiol ystyried matrics heb resi na cholofnau, hwn yw'r matrics gwag.

Trosolwg o faint matrics

Enw	Maint	Enghraifft	Disgrifiad
Fector rhes	1×n	${\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}$	Matrics gydag un rhes, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli fector.
Fector colofn	n×1	${\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}$	Matrics gydag un golofn, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli fector.
Matrics sgwâr	n×n	${\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}$	Matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli trawsffurfiad llinol o ofod fector iddo'i hun, megis adlewyrchiad neu gylchdroi.

Nodiant

Yn aml ysgrifennir matricsau mewn cromfachau sgwâr neu gromfachau crwn:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}=\left(a_{ij}\right)\in \mathbb {R} ^{m\times n}.$

Mae nodiant matrics yn amrywio'n fawr, ond mae rhai confensiynau cyffredinol. Fel arfer, defnyddir priflythrennau (fel A yn yr enghreifftiau uchod) i ddynodi matrics tra defnyddir y llythrennau bach cyfatebol gyda dau indecs isysgrif (ee, a₁₁ neu a_1,1) i gynrychioli'r cofnodion. Yn ogystal â defnyddio priflythrennau i ddynodi matricsau, mae llawer o awduron yn defnyddio arddull argraffyddol arbennig, yn aml ffont trwm unionsyth (nid yn italig), i wahaniaethu ymhellach rhwng matricsau a gwrthrychau mathemategol eraill.

Weithiau cyfeirir at yr elfen yn y i-fed rhes a'r j-fed golofn o fatrics A fel yr i,j, (i, j), neu (i, j)fed cofnod y matrics. Dynodir yn gyffredin gan a_i,j, neu a_ij. Rhai nodiannau amgen ar gyfer y cofnod hwnnw yw A[i, j] neu A_i,j . Er enghraifft, mae'r (1,3) mynediad y matrics canlynol A yw 5 (ddynodir hefyd yn a₁₃, a_1,3, A[1,3] neu A_1,3.

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}$

Dynodir set yr holl matricsau m x n gan 𝕄(m, n).

Gweithrediadau sylfaenol

Mae yna nifer o weithrediadau sylfaenol y gellir eu defnyddio i addasu matricsau, er enghraifft adio matrics, lluosi sgalar, trawsddodiad, a lluosi matrics.

Ychwanegiad, lluosi sgalar, a thrawsosod

Gweithrediadau yn cael eu perfformio ar fatricsau

Gweithrediad	Diffiniad	Enghraifft
Adio	Cyfrifir swm A + B dau fatrics m x n A a B fesul elfen: (A + B)i,j = Ai,j + Bi,j, lle 1 ≤ i ≤ m ac 1 ≤ j ≤ n .	${\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}$
Lluosi sgalar	Cyfrifir lluoswm cA o rif c (a elwir hefyd yn sgalar ym myd algebra haniaethol) a matrics A trwy luosi pob cofnod mewn A ag c: (cA)i,j = c · Ai,j. Gelwir y gweithrediad hwn yn lluosi sgalar, ond nid yw ei ganlyniad yn cael ei enwi'n "gynnyrch graddfa" oherwydd defnyddir y term hwnnw ar gyfer rhywbeth arall.	$2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$
Trawsddodiad	Trawsosod matrics m x n A yw'r matrics n x m AT (weithiau wedi dynodi Atr neu tA) a ffurfiwyd gan droi i mewn i resi golofnau ac i'r gwrthwyneb: (AT)i, j = Aj, i.	${\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}$

Mae priodweddau cyfarwydd rhifau yn ymestyn i'r gweithrediadau matricsau hyn: er enghraifft, mae adio yn gymudol, hynny yw, nid yw'r swm matrics yn dibynnu ar drefn y symiau: A+B=B+A. Mae'r trawsddodiad yn ymddwyn fel y disgwyl gydag adio a lluosi sgalar, e.e. (cA)^T = c(A^T) ac (A + B)^T = A^T + B^T, ac (A^T)^T = A.

Lluosi matrics

Darlun o luosi matrics AB dau fatrics A a B.

Gallwn ddiffinio lluosi dau fatrics os ac yn unig os yw nifer colofnau'r matrics chwith yr un peth â nifer y rhesi o'r matrics de. Os yw A yn fatrics m x n ac mae B yn fatrics n x p, yna eu luoswm AB yw'r matrics m x p y rhoddir ei gofnodion gan lluoswm dot y rhes gyfatebol o A a'r golofn gyfatebol B:

$[\mathbf {AB} ]_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j},$

lle 1 ≤ i ≤ m ac 1 ≤ j ≤ p. Er enghraifft, caiff y cofnod wedi'i danlinellu 2340 ei gyfrifo o (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Pryd bynnag mae'r lluosi hyn wedi'u diffinio, mae lluosi matrics yn bodloni'r rheolau (AB)C = A(BC), hynny yw cysylltiadedd; (A + B)C = AC + BC ac C(A + B) = CA + CB, hynny yw mae'n ddosbarthol o'r chwith ac o'r dde). Efallai bod AB wedi'i ddiffinio ond nid yw BA, oherwydd meintiau'r matricsau A a B. Hyd yn oed os yw'r ddau luoswm wedi'u diffinio, yn gyffredinol ni fyddant yn gyfartal, hynny yw: AB ≠ BA.

Mewn geiriau eraill, nid yw lluosi matrics yn gymudol , mewn cyferbyniad amlwg â rhifau cymarebol, real a chymhlyg, lle mae eu lluosymiau yn annibynnol ar drefn y ffactorau. Enghraifft o ddau fatrics nad ydynt yn cymudo â'i gilydd yw:

${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}.$

tra bod

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&3\\\end{bmatrix}},$

Matricsau sgwâr

Matrics sgwâr yw matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau. Gellir ychwanegu a lluosi unrhyw ddau fatrics sgwâr o'r un maint. Mae'r cofnodion a_ii yn ffurfio prif groeslin y matrics sgwâr. Maent yn gorwedd ar y llinell ddychmygol sy'n rhedeg o'r gornel chwith uchaf i gornel dde isaf y matrics.

Prif fathau

Enw	Enghraifft n = 3
Matrics croeslin	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}$
Matrics trionglog isaf	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$
Matrics trionglog uchaf	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}$

Matrics croeslin a thrionglog

Os yw holl gofnodion A o dan y brif groeslin yn sero, gelwir A yn fatrics trionglog uchaf. Yn yr un modd, os yw pob cofnod A uwchben y brif groeslin yn sero, gelwir A yn fatrics trionglog isaf. Os yw'r holl gofnodion y tu allan i'r brif groeslin yn sero, gelwir A yn fatrics croeslin.

Matrics unfathol

Y matrics unfathol I_n o faint n yw matrics n x n lle mae'r holl elfennau ar y prif groeslin yn hafal i 1 a phob elfen arall yn gyfartal i 0, er enghraifft,

$\mathbf {I} _{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ \mathbf {I} _{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Mae'n fatrics sgwâr o drefn n, a hefyd yn fath arbennig o fatrics croeslin. Fe'i gelwir yn fatrics unfathol oherwydd nad yw lluosi ag ef yn newid matrics:

AI_n = I_mA = A ar gyfer unrhyw fatrics m x n A.

Matrics gwrthdroadwy a'i wrthdro

Gelwir matrics sgwâr A yn gwrthdroadwy neu'n anhynod os bodoler matrics B fel bod

AB = BA = I_n,

lle I_n yw'r matrics unfathol n × n. Os yw B yn bodoli, mae'n unigryw ac fe'i gelwir yn fatrics gwrthdro A, a'i dynodir gan A⁻¹.

Prif weithrediadau

Olin

Olin matrics sgwâr A yw swm ei gofnodion croeslin, a ddynodir gan tr(A). Er nad yw lluosi matrics yn gymudol fel y soniwyd uchod, mae olinau luoswm dau fatrics yn annibynnol o drefn y ffactorau: tr(AB) = tr(BA). Hefyd, mae olin matrics yn hafal i olin ei drawsddodiad, hynny yw, tr(A) = tr(A^T).

Determinant

Determinant matrics sgwâr A (a ddynodir gan det(A) neu |A|) yw rhif sy'n disgrifio rhai priodweddau penodol y matrics. Mae matrics yn wrthdroadwy os ac yn unig os yw ei determinant yn di-sero. Rhoddir determinant matricsau 2 x 2 gan

$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

Mae fformiwla Leibniz yn cyffredinoli'r fformiwla hon i bob dimensiwn.

Gwerthoedd eigen a fectorau eigen

Gelwir rhif λ a fector di-sero v sy'n bodloni

Av = λv

yn werth eigen a fector eigen o A, yn y drefn honno. Mae'r rhif λ yn werth eigen matrics n × n A os ac yn unig os nad yw A −λI_n yn wrthdroadwy, sy'n cyfateb i

$\det({\mathsf {A}}-\lambda {\mathsf {I}})=0.$