Pôs Monty Hall

Mae Pôs Monty Hall yn bôs tebygolrwydd, yn seiliedig yn fras ar y rhaglen teledu Americanaidd Let's Make a Deal, a enwyd ar ôl ei cyflwynydd gwreiddiol, Monty Hall. Perwyd (a ddatryswyd) y broblem wreiddiol mewn llythyr gan Steve Selvin i'r American Statistician yn 1975 ((Selvin 1975a), ((Selvin 1975b). Daeth yn enwog fel cwestiwn o lythyr a ddyfynnir yn golofn Marilyn vos Savant "Ask Marilyn" yn y gylchgrawn Parade  yn 1990 ((vos Savant 1990a):

Yn chwilio am gar newydd, mae'r chwaraewr yn dewis un drws, dywedwn drws 1. Mae cylfwynydd y gêm yn agor un o'r drysau eraill, dywedwn drws 3, i ddatgelu gafr, ac yn rhoi cynnig i'r chwaraewr newid o ddrws 1 i ddrws 2.

"Tybiwch eich bod ar sioe gêm, a mae ganddoch chi dewis o tri drws: Tu ôl i in drws mae car; tu ôl y gweddill mae geifr. Rydych chi'n dewis drws, dywedwn drws Rhif 1, ac mae'r cyflwynwr, sy'n gwybod beth sydd tu ôl pob drws, yn agor drws arall, dywedwn drws Rhif 3, I dangos gafr. Mae'r cyflwynwr wedyn yn gofyn "Wyt ti eisiau dewis drws Rhif 2? A yw'n fantais newid eich dewis?"

Ymateb Vos Savant oedd dylai'r cystadleuydd newid i dewis y drws arall (Vos Savant 1990a). O dan dybiaethau safonol, mae gan cystadleuwyr sy'n newid eu dewis tebygolrwydd 2/3 o ennill y car, tra bod gan cystadleuwyr sy'n cadw eu dewis gwreiddiol ond tebygolrwydd o 1/3 o ennill y car.Mae'r tebygolrwyddau a rhoddir yn dibynnu ar dybiaethau penodol ar sut mae'r cyflwynwr a'r cystadleuydd yn dewis eu drysau. Y faith allweddol y bod mwy o wybodaeth am drysau 2 a 3 nad oedd ar gael ar dechrau'r gêm, pan ddewisodd y cystadleuydd drws Rhif 1. Mae gweithrediad bwriadol y cyflwynwr yn ychwanegu mwy o werth i'r drws nad oedd y cyflwynwr wedi dewis i'w ddangos, ond nid yw'n ychwanegu unrhyw beth i'r drws a ddewisiodd y cystadleuydd yn wreiddiol.

Gwrthododd llawer o ddarllenwyr golofn Vos Savant i gredu bydd newid eich drws yn fuddiol, er gwaethaf ei esboniad. Ar ôl i'r broblem yn ymddangos yn y Parade, ysgrifennodd tua 10,000 o ddarllenwyr, yn cynnwys bron i 1,000 gyda Phd, i'r cylchgrawn, y rhan fwyaf ohonynt yn honni fod vos Savant yn anghywir ((Tierney 1991). Hyd yn oed ar ôl roi esboniadau, rhedeg efelychiadau, a gweld profion mathemategol ffurfiol, mae llawer o bobl dal ddim yn derbyn taw newid drws yw'r strategaeth orau ((vos Savant 1991a). Roedd Paul Erdős, un o'r mathemategwyr enwocaf, yn parhau i wrthod credu hwn nes iddo weld efelychiad cyfrifiadurol yn dangos y canlyniad a rhagwelir (Vazsonyi 1999).

Mae'r broblem ym paradocs o'r fath veridical, oherwydd bod y dewis cywir (dylen ni newid drysau) mor gwth-reddfol gall ymddangos yn hurt, ond serch hynny'n amlwg yn wir. Mae'r broblem Monty Hall yn perthyn yn fathemategol agos i'r broblem Tri Carcharwr ac i'r paradocs blwch Bertrand.

Y paradocs

Disgrifiodd Steve Selvin y problem mewn llythyr i'r American Statistician yn 1975, yn ei alw'n y "problem Monty Hall" mewn llythyr dilynol. Ailddatganwyd y problem mewn llythyr gan Craig Whitaker i golofn "Ask Marilyn" yn 1990 (Gardner 1959a) and the Three Shells Problem described in Gardner's book "Aha Gotcha"; 1982.

Tybiaethau safonol

O dan y dybiaethau safonol, y tebygolrwydd o ennill y car ar ôl newid yn 2/3. Yn allweddol i'r datrysiad hwn yw ymddygiad y cyflwynydd:

1. Rhaid i'r cyflwynydd pob amser agor drws ni ddewiswyd gan y cystadleuydd (Mueser a Granberg 1999).
2. Rhaid i'r cyflwynydd pob amser agor drws i ddatgelu gafr a byth y car.
3. Rhaid i'r cyflwynydd pob amser cynnig y cyfle i newid rhwng y dewis wreiddiol a'r drws sydd gweddill.

Datrysiad

Tri trefniant cychwynnol i'r gêm. Mewn dau ohonynt, mae'r chwaraewr yn ennill trwy newid ei dewis gwreiddiol.

Mae'r datrysiad a gyflwynir gan vos Savant (1990b) yn Parade yn dangos y tri trefniadau posibl o un car a dau gafr tu ôl i dri drws, a'r canlyniad o aros neu newid ar ôl dewis drws 1 ym mhob achos:

Tu ôl i ddrws 1	Tu ôl i ddrws 2	Tu ôl i ddrws 3	Canlyniad, os aros gyda drws #1	Canlyniad os newidir drws
Gafr	Gafr	Car	Ennill gafr	Ennill car
Gafr	Car	Gafr	Ennill gafr	Ennill car
Car	Gafr	Gafr	Ennill car	Ennill gafr

Mae chwaraewr sydd yn aros gyda'i dewis cychwynnol yn ennill mewn dim ond un allan o dri o'r bosibiliadau yma sydd yr un mor debygol i'w ddigwydd, tra bod y chwaraewr sydd yn newid ei dewis yn ennill mewn dau allan o dri.

Ffordd arall o ddeall y datrysiad yw ystyried y ddau drws ni chafodd eu dewis yn gwreiddiol gyda'i gilydd (Adams 1990; Devlin 2003, 2005; Williams 2004; Stibel et al., 2008). Fel dywedodd Cecil Adams (Adams 1990), "mae Monty yn dweud mewn gwirionedd: gallwch gadw eich un drws, neu gallwch gael y ddau drws arall". Nid yw'r siawns 2/3 o ddod o hyd i'r car wedi ei newid gan agor un o'r drysau hyn gan fod Monty, yn gwybod leoliad y car, yn sicr i ddatgelu gafr. Felly nid yw dewis y chwaraewr ar ôl i'r cyflwynydd agor drws yn wahanol i'r cyflwynydd yn cynnig y dewis i newid i'r set o ddau drws sydd ar ôl. Mae newid yn yr achos hwn yn amlwg yn rhoi'r chwaraewr tebygolrwydd o 2/3 o ddewis y car.