Mewn dadansoddi cymhleth, disgyblaeth o fewn mathemateg, mae'r theorem gwaddod, a elwir weithiau'n theorem gwaddod Cauchy, yn offeryn pwerus i werthuso integrynnau amlin o ffwythiannau analytig dros gromliniau caeedig; yn aml gellir ei ddefnyddio i gyfrifo integrynnau real, a hefyd i gyfrifo cyfresi anfeidraidd. Mae'n cyffredinoli theorem integryn Cauchy a fformiwla integryn Cauchy. O safbwynt geometregol, gellir ei ystyried yn achos arbennig o theorem gyffredinol Stokes.

Datganiad

golygu

Mae'r datganiad fel a ganlyn:

 
Darlun o'r lleoliad.

Gadewch i U fod yn is-set agored gysylltiedig syml o'r plân cymhlyg sy'n gynnwys set meidraidd o bwyntiau a1, ..., an, U0 = U \ {a1, ..., an}, a ffwythiant f sydd wedi'i diffinio ac yn holomorffig ar U0. Gadewch γ fod yn gromlin gaeedig yn U0, ac yn dynodi rhif dirwyniad (winding number) γ o gwmpas ak gan I(γ, ak). Mae'r integryn amlin o f o amgylch γ yn hafal i 2πi lluosi swm gwaddodion f yn y pwyntiau, pob un yn cael ei gyfrif cymaint o weithiau y mae γ yn troelli o amgylch y pwynt:

 

Os yw γ yn gromlin gaeedig syml sydd wedi'i gogwyddo'n bositif, mae I(γ, ak) = 1 os yw ak tu mewn i γ, a 0 os na, felly

 

gyda'r swm dros yr ak sydd tu mewn γ.[1]

Er mwyn gyfrifo integrynnau real, defnyddir y theorem gwaddod yn y ffordd ganlynol: rydym yn ymestyn yr integrand i'r plân cymhlyg a chyfrifo'i gwaddodion (sydd fel arfer yn hawdd), ac rydym yn ymestyn rhan o'r echel real i gromlin gaeedig trwy atodi hanner cylch yn yr hanner plân uchaf neu isaf, gan ffurfio hanner cylch. Yna gallwn gyfrifo'r integryn dros y gromlin hon gan ddefnyddio'r theorem gwaddod. Yn aml, bydd rhan hanner cylch yr integryn yn tueddu tuag at sero wrth i radiws yr hanner cylch dyfu, gan adael dim ond rhan echel real yr integryn, yr un yr oedd gennym ddiddordeb ynddo yn wreiddiol.

Enghreifft

golygu

Integryn ar hyd yr echel go iawn

golygu

Mae'r integryn

 
 
Yr amlin C.

yn codi mewn theori tebygolrwydd wrth gyfrifo ffwythiant nodweddiadol y dosraniad Cauchy. Nid yw'n hawdd ei gyfrifo gan ddefnyddio technegau calcwlws elfennol, ond gellir ei gyfrifo trwy ei fynegi fel terfan integrynnau amlin.

Tybiwch fod t > 0, a diffiniwch yr amlin C sy'n mynd ar hyd y llinell real o a i a, ac yna'n wrthglocwedd ar hyd hanner cylch wedi'i ganoli ar 0 o a i a. Cymerwch a i fod yn fwy nag 1, fel bod yr uned ddychmygol wedi'i hamgáu o fewn y gromlin. Nawr, ystyriwch yr integryn amlin

 

Gan fod eitz yn ffwythiant cyfan (heb unrhyw hynodion ar unrhyw bwynt yn y plân cymhlyg), mae gan y ffwythiant hwn hynodion ond lle mae'r enwadur z2 + 1 yn sero. Gan fod z2 + 1 = (z + i)(zi), mae hwn yn sero yn z = i ac z = −i. Dim ond un o'r pwyntiau hynny sydd yn y rhanbarth sydd wedi'i ffinio gan yr amlin hon. Gan fod f(z) yn

 

gwaddod f(z) yn z = i yw

 

Yn ôl y theorem gwaddod felly, mae gennym

 

Gellir ymrannu'r amlin C i mewn i'r rhan syth a'r arc grom, fel bod

 

ac felly

 

Gan ddefnyddio'r Lema Amcangyfrif, mae gennym

 

ac

 

Felly, mae

 

Os yw t < 0 yna mae dadl debyg gydag arc C' sy’n troelli o gwmpas i yn hytrach nag i yn dangos fod

 
Yr amlin C'.
 

ac felly, yn olaf mae gennym

 

(Os yw t = 0 yna mae'r integryn yn lleihau i rywbeth gallwn ddefnyddio ddulliau calcwlws elfennol arno, a'i werth yw π. )

Cyfeiriadau

golygu
  • Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.
  • Lindelöf, Ernst L. (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (yn Ffrangeg). Editions Jacques Gabay (cyhoeddwyd 1989). ISBN 2-87647-060-8.
  • Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984). The Cauchy method of residues: Theory and applications. D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4.
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1920). A Course of Modern Analysis (arg. 3rd). Cambridge University Press.
  1. Whittaker & Watson 1920, §6.1.