Anwythiad Bayesaidd

Mewn ystadegaeth, mae anwythiad Bayesaidd yn ddull o anwythiad lle ddehonglir tebygolrwydd fel lefel o grediniaeth yn hytrach nac amledd neu gyfran.

Anwythiad Bayesaidd

Math	statistical method, Ystadegaeth gasgliadol
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Fe ddaw'r enw o'r defnydd aml a wneir o theorem Bayes. Fe enwir theorem Bayes ar ôl y gweinidog Seisnig Thomas Bayes (1702-1761); fodd bynnag, nid yw'n bosib ddweud â fyddai Bayes ei hun yn cydfynd â'r dehongliad hael o debygolrwydd a elwir yn "Bayesaidd" erbyn hyn.

Tystiolaeth a'r dull gwyddonol

Mae ystadegwyr Bayesaidd yn honni fod dulliau anwythiad Bayesaidd yn cynnig sail haniaethol i'r dull gwyddonol. Fe gesglir tystiolaeth sydd yntau'n cefnogi neu'n gwrthdystio rhagdybiaeth penodol. Yn anorfod, nid oes sicrwydd, ond wrth i dystiolaeth gasglu, mae lefel crediniaeth y rhagdybiaeth yn newid; gyda digon o dystiolaeth, yn aml fe ddaw i fod yn uchel iawn (bron yn 1), neu'n isel iawn (yn agos i 0).

Ystyriwch y rhesymu canlynol er enghraifft

Mae'r haul wedi codi a machlud ers biliynau o flynyddoedd. Mae'r haul wedi machlud heno. Â thebygolrwydd uchel iawn, fe fydd yr haul yn codi yfory.

Mae ystadegwyr Bayesaidd yn credu mai anwythiad Bayesaidd yw'r sail rhesymegol orau am wahaniaethu rhwng rhagdybiaethau sy'n gwrthddweud. Mae'n cymryd amcangyfrif o lefel crediniaeth rhagdybiaeth cyn dyfodiad rhyw dystiolaeth newydd, a'n ei ddefnyddio i roi gwerth rhifyddol i'r lefel crediniaeth wedi dyfodiad y tystiolaeth. Fodd bynnag, achos ei fod yn dibynnu ar raddau o grediniaeth sy'n oddrychol, ni all roi eglyrhad gwbl wrthrychol o anwythiad.

Mae theorem Bayes yn gyfleu dull o addasu lefelau crediniaeth yn sgîl gwybodaeth newydd. Dyma theorem Bayes:

$P(H_{0}|E)={\frac {P(E|H_{0})\;P(H_{0})}{P(E)}}.$

At ein dibenion ni, cymerwn fod $P(H_{0})$ yn ragdybiaeth gaeth ei ddatblygu ab initio neu'i ddidwytho o arsylwadau blaenorol, cyn yr arsylwad neu dystiolaeth $E$.

• Gelwir y term $P(H_{0})$ y tebygolrwydd blaenorol o $H_{0}$.
• Y term $P(E|H_{0})$ yw'r tebygolrwydd amodol o arsylwi $E$, yn amodol ar i $H_{0}$ fod yn wir; fel ffwythiant o $H_{0}$ (yn amodol ar $E$), fe'i gelwir yn ffwythiant tebygoliaeth.
• Fe gelwir y term $P(E)$ y tebygolrwydd ymylol o $E$; h.y., y tebygolrwydd o E heb unrhyw wybodaeth arall. Mae'n gysonyn normaleiddio, ac fe ellir ei gyfrifo fel swm y rhagdybioaethau rhyng-anghynwysol $\sum P(E|H_{i})P(H_{i})$.
• Fe gelwir y term $P(H_{0}|E)$ y tebygolrwydd ôl-ganlynol o $H_{0}$ yn sgîl $E$.

Mae'r ffactor graddfa $P(E|H_{0})/P(E)$ yn rhoi mesur o'r effaith sydd gan yr arsylwad ar grediniaeth yn y rhagdybiaeth. Os yw'n annhebyg wneud arsylwad penodol heb fod y rhagdybiaeth dan sylw yn wir, yna fe fydd y ffactor yn fawr. Mae lluosi'r ffactor graddfa â'r tebygolrwydd blaenorol fod y rhagdybiaeth yn wir yn rhoi'r tebygolrwydd fod y rhagdybiaeth yn wir yn sgîl yr arsylwad.

Mae'n gymharol rhwydd profi na fydd lluosi'r tebygolrwydd blaenorol $P(H_{0})$ â'r ffactor graddio byth yn rhoi "tebygolrwydd" sy'n fwy nac un. Dangosir hyn trwy sylwi fod $P(E)$ yn fwy na neu'n hafal i $P(E\cap H_{0})$, sy'n hafal i $P(E|H_{0})\cdot P(H_{0})$. Gan fod lluosi $P(E)$ a $P(E\cap H_{0})$ yn y ffactor graddio yn rhoi tebygolrwydd ôl-ganlynol o 1; gallai'r fformwla tebygolrwydd ôl-ganlynol dim ond rhoi "tebygolrwydd" fwy nac 1 os oedd $P(E)$ yn llai na $P(E\cap H_{0})$, ond mae hyn yn amhosib.

Cred rhai ystadegwyr Bayesaidd fod rhoi gwerthoedd gwrthrychol i'r tebygolrwydd blaenorol yn ein galluogi i roi mesur gwrthrychol o debygolrwydd y rhagdybiaeth. Ond i eraill, ymddengys nad oes ffordd eglyr o enwebu tebygolrwydd gwrthrychol; yn wir, mae gwneud hynny yn gorfodi enwebu tebygolrwydd i bob rhagdybiaeth posib!

Yn amgen, ac yn amlach, gellir cymryd tebygolrwydd i fod yn fesur o radd oddrychol o grediniaeth y gweithredwr, a cyfyngu'r rhagdybiaethau i set o fewn model penodol. Yna mae'r theorem yn rhoi mesur rhesymegol o faint ddylem newid ein lefel o grediniaeth yn y rhagdybiaeth. Ond yn yr achos yma, erys y tebygolrwydd ôl-ganlynol yn oddrychol. Felly fe ellir defnyddio'r theorem i roi gyfiawnhad rhesymegol o gred mewn rhagdybiaeth, ond yn gyfnewid mae'n rhaid aberthu gwrthrychioldeb.

Mae'n annhebyg y bydd dau unigolun yn cychwyn â'r un gradd oddrychol o grediniaeth. Hona cefnogwyr y dull Bayesaidd fod digonedd o arsylwadau yn debyg o ddod a'u tebygolrwyddau ôl-ganlynol yn agosoch at ei gilydd, hyd yn oed ac enwebiadau tra-wahanol o debygolrwydd blaenorol. Cymer hyn nad ydynt yn llwyr-ymwrthod rhagdybiaethau blaenorol ei gilydd; a'u bod yn enwebu tebygolrwyddau amodol tebyg. Dim ond mewn achosion lle mae llawer o gytundeb oddrychol yn barod y mae dulliau Bayesaidd yn ddefnyddiol, felly.

Mewn sawl achos, gellir grynhoi effaith yr arsylwadau mewn cymhareb tebygoliaeth. Gellir cyfuno hyn a'r tebygolrwydd blaenorol i adlewyrchu y radd blaenorol o grediniaeth ac unrhyw dystiolaeth blaenorol sy'n cael ei ystyried...