Croestoriad setiau

Mewn mathemateg, croestoriad dwy set $A$ a $B,$ wedi'i ddynodi gan $A\cap B,$ yw'r set sy'n cynnwys holl elfennau $A$ sydd hefyd yn perthyn i set $B$; hy pob elfen o $B$ sydd hefyd yn perthyn i $A.$ Mae'n un o'r gweithrediadau sylfaenol lle gellir cyfuno setiau a'u cysylltu â'i gilydd.

Croestoriad setiau

Croestoriad dwy set $A$ a $B,$ a gynrychiolir gan gylchoedd. Mae $A\cap B$ (neu "$A$ croestoriad $B$") mewn coch.
Enghraifft o'r canlynol	gweithredydd y set, gweithredydd ddeuaidd, intersection, intersection of several sets
Math	is-set
Y gwrthwyneb	Uniad set
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Nodiant a therminoleg

Ysgrifennir croestoriad gan ddefnyddio'r symbol "$\cap$"rhwng y termau. Er enghraifft:

$$\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$$

$$\{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing$$

$$\mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N}$$

$$\{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}$$

Gellir ysgrifennu croestoriad mwy na dwy set (croestoriad cyffredinol) fel:

$$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$$

sy'n debyg i nodiant priflythyren-sigma.

Diffiniad

Croestoriad tair set:
$~A\cap B\cap C$

Enghraifft o groestoriad â setiau

Croestoriad dwy set $A$ a $B,$ wedi'i ddynodi gan $A\cap B$, yw'r set o'r holl wrthrychau sy'n aelodau o'r ddwy set $A$ a $B.$ Mewn symbolau:

$$A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.$$

Hynny yw, mae $x$ yn elfen o'r croestoriad $A\cap B$ os ac yn unig os yw $x$ yn elfen o $A$ ac yn elfen o $B.$

Er enghraifft:

• Croestoriad y setiau {1, 2, 3} a {2, 3, 4} yw {2, 3}.
• Nid yw'r rhif 9 yn y groesffordd y set o rifau cysefin {2, 3, 5, 7, 11, ...} a set o odrifau {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, oherwydd nid yw 9 yn rhif gysefin.

Priodweddau algebraidd

Mae croestoriad deuaidd yn weithrediad cysylltiol (associative); hynny yw, ar gyfer unrhyw setiau $A,B,$ a $C,$ mae

$$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.$$

Felly gellir hepgor y cromfachau heb amwysedd, gan ysgrifennu un o'r uchod fel $A\cap B\cap C$. Mae croestoriad hefyd yn gymudol (commutative). Hynny yw, i unrhyw un $A$ a $B,$ mae gan un

$$A\cap B=B\cap A.$$

Mae croestoriad unrhyw set â'r set wag yn arwain at y set wag; hynny yw, ar gyfer unrhyw set $A$,

$$A\cap \varnothing =\varnothing$$

Hefyd, mae'r gweithrediad croestoriad yn idempotent; hynny yw, mae unrhyw set $A$ yn bodloni $A\cap A=A$. Mae'r holl briodweddau hyn yn dilyn o ffeithiau tebyg am gysylltiad rhesymegol (logical conjunction).

Mae croestoriad yn dosbarthu dros uniad ac mae uniad yn dosbarthu dros groestoriad. Hynny yw, ar gyfer unrhyw setiau $A,B,$ a $C,$ mae

$${\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}$$

Y tu mewn i fydysawd $U,$ gellir diffinio'r cyflenwad $A^{c}$ o $A$ i fod yn set o bob elfen o $U$ sydd ddim yn $A.$ Ar ben hynny, gellir sgwennu croestoriad $A$ a $B$ fel cyflenwad uniad eu cyflenwadau, sy'n deillio'n hawdd o ddeddfau De Morgan:

$$A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}$$

Darllen pellach

• Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (arg. Second). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (arg. Second). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (arg. Sixth). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

Dolen allanol

• Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.