Damcaniaeth setiau wirebol

Mewn mathemateg, disgrifiad trylwyr o ddamcaniaeth setiau yw damcaniaeth setiau wirebol. Fe'i grëwyd er mwyn mynd i'r afael a'r croesddywediadau megis croesddywediad Russel a chroesddywediad Burali-Forti, a oedd yn rhan annatod o ddamcaniaeth setiau fel y'i datblygwyd gan Frege ac eraill. Mae sawl system wirebol posib i ddamcaniaeth setiau, ond system Zermelo-Fraenkel gyda Gwireb Ddewis yw'r fwyaf poblogaidd o lawer ymysg mathemategwyr.

Gwirebau ZFGolygu

Strwythur dros resymeg radd-gyntaf yw damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel. Setiau yw aelodau'r strwythur, a hafaledd a'r perthynas o aelodaeth yw'r perthynasau arno.

1) Gwireb estyniad: Mae dwy set yn hafal os yw'r un aelodau ganddynt.

 

2) Gwireb sylfaen: Mae gan bob set x nad yw'n wag aelod y fel fod x ac y yn setiau digyswllt.

 

3) Gwireb wahanu: Os yw z yn set a   yn unrhyw briodwedd a all aelodau x o z gael, yna mae yna is-set y o z sy'n cynnwys yr x hynny yn z sydd ganddynt y priodwedd, a dim arall. Mae'r cyfyngiad i z yn angenrheidiol er mwyn osgoi gwrthddywediad Russel. Noder mai cyfres o wirebau yw hon, a bod yn fanwl gywir.

Ar gyfer unrhyw fformwla   yn iaith ZFC gyda newidynnau rhydd ymysg  :

 

4) Gwireb bario: Os yw x ac y yn setiau, yna mae yna set sy'n cynnwys y ddwy ohonynt.

 

5) Gwireb uniad: I bob set   mae yna set A sy'n cynnwys pob set sy'n aelod o set sy'n aelod o  .

 

6) Gwireb ail-osod: Ar gyfer pob ffwythiant ffurfiol f a'i barth yn set, mae yna set sy'n cynnwys amrediad f (namyn un amod i osgoi wrthddywediad). Cyfres o wirebau ydyw hon hefyd. Ar gyfer pob fformwla   yn iaith ZFC gyda'i newidynnau rhydd ymysg  :

 

Ystyr y meintiolydd   yw fod   o'r fath yn bodoli, a'i bod yn unigryw namyn hafaledd.

Defnyddia'r gwirebau canlynol y nodiant  . Gellid profi o'r gwirebau uchod fod   yn bodoli a'i bod yn unigryw ar gyfer pob set  . Os mae yna set yn bodoli o gwbl, maent hefyd yn ymhlygu fod y set wag   yn bodoli a'i bod yn unigryw.

7) Gwireb anfeidredd: Mae yna set X sy'n cynnwys y set wag, a phrydbynnag mae y 'n aelod o X, mae S(y) hefyd yn aelod o X.

 

8) Gwireb set-pŵer: I bob set x mae yna set y sy'n cynnwys pob is-set o x.

 

Mae   yn dalfyriad o  .

9) Gwireb ddewis: I bob set X mae yna berthynas deuol R sy'n iawn-drefnu X. Golyga hyn fod R yn drefn llinol ar X a bod elfen lleiaf dan R gan bob is-set an-wag o X.

 

Gweler hefydGolygu