Gofod fector

Gofod fectoraidd yw'r gwrthrych sylfaenol a astudir yn y ganghen o fathemateg o'r enw algebra llinol.

Os ystyrwn fectorau geometrig a'r gweithrediadau pwysicaf y gallem ddiffinio arnynt, sef adio factoraidd a lluosi â scalar, ynghyd â rhai cyfyngiadau naturiol megis cäedigrwydd, cydymaithder ac yn y blaen, fe ddown i ddisgrifiad o strwythyr mathemategol a gelwir yn ofod fectoraidd

Nid oes rhaid i'r “fectorau” fod yn fectorau geometrig yn yr ystyr arferol; gallent fod yn unrhyw wrthrychau mathemategol sy'n bodloni'r gwirebau priodol. Er enghraifft, mae'r polynomialau â chyfernodau real yn ffurfio gofod fectoraidd. Mae'r lefel yma o haniaeth yn gwneud gofod fectoraidd yn wrthrych defnyddiol mewn sawl canghen o fathemateg.

Diffiniad ffurfiol

Mae gofod fectoraidd dros gorff F (corff y rhifau real neu'r rhifau cymhlyg er enghraifft) yn set V ynghyd â'r dau weithred,

• adio fectorau: V × V → V ysgrifennir v + w, lle mae v, w ∈ V, a
• lluosi â scalar: F × V → V ysgrifennir a v, lle mae a ∈ F and v ∈ V,

fel fod y fectorau'n ffurfio grŵp abelaidd, a'r ffwythiant â gymer elfen o'r corff i'w weithred scalar yn homomorffiad fodrwyol i'r grŵp o homomorffiadau ar V. Rhoddir disgrifiad mwy penodol o'r priodweddau hyn yn yr wyth wireb isod

Grŵp abelaidd y fectorau:

1. Mae adio fectorau yn gydymaithderol:

   Ar gyfer pob u, v, w ∈ V, mae u + (v + w) = (u + v) + w.

2. Mae adio fectorau yn gymudol:

   Ar gyfer pob v, w ∈ V, mae v + w = w + v.

3. Elfen unfathiant adio fectoraidd:

   Mae 0 ∈ V, a gelwir y fector sero, yn bodoli ac yn bodloni v + 0 = v am unrhyw v ∈ V.

4. Bodolaeth elfen gwrthdro:

   Ar gyfer pob v ∈ V, fe bodola elfen w ∈ V, a gelwir gwrthdro adiol v, fel bod v + w = 0.

Mae lluosi â scalar yn homomorffiad:

1. Mae lluosi â scalar yn ddosbarthiadol dros adio fectoraidd:

   Ar gyfer pob a ∈ F a v, w ∈ V, mae a (v + w) = a v + a w.

Mae'r ffwythiant o'r corff i'r gweithrediadau scalar yn homomorffiad fodrwyaidd:

1. Mae lluosi â scalar yn gydymaithderol:

   Ar gyfer pob a, b ∈ F a v ∈ V, mae a (b v) = (ab) v.

2. Elfen unfathiant lluosi â scalar:

   Ar gyfer pob v ∈ V, mae 1 v = v, lle dynoda 1 yr unfathiant lluosiadol yn F.

3. Mae lluosi â scalar yn ddosbarthiadol dros adiad yn y corff:

   Ar gyfer pob a, b ∈ F a v ∈ V, mae (a + b) v = a v + b v.

Noder fod dwy wireb caëdigrwydd yn cael eu cynnwys weithiau:

1. Mae adio fectoraidd yn gaëdig:

   Os mae u, v ∈ V, yna mae u + v ∈ V.

2. Mae lluosi â scalar yn gaëdig:

   Os mae a ∈ F, v ∈ V, yna mae a v ∈ V.

Fodd bynnag, nid oes angen eu cynnwys, gan eu bod ymhlyg yn y diffiniad ffurfiol o'r gweithrediadau fel ffwythiannau i'r set V.

Gelwir elfennau V yn fectorau ac elfennau F yn scalarau. Mewn llawer o'r cymhwysiadau, y rhifau real neu'r rhifau cymhlyg yw'r scalarau, a throfodir gofodau fectoraidd real a gofodau fectoraidd cymhlyg.

Fel y cysyniad o gorff ei hun, mae'r diffiniad ffurfiol o ofod fectoraidd yn gwbwl haniaethol. Mae'n debyg i'r cysyniad o fodwl dros fodrwy, yn wir mae'n achos arbennig o'r gwrthrych hwnnw.