Integru fesul rhan

Mewn calcwlws, ac yn fwy cyffredinol mewn dadansoddiad mathemategol, integru fesul rhan (yn Saesneg integration by parts) yw broses sy'n canfod integryn lluoswm ffwythiannau yn nhermau integryn lluoswm eu deilliad a'u gwrthddeilliad. Fe'i defnyddir yn aml i drawsnewid gwrthddeilliad lluoswm o ffwythiannau i mewn i wrthddeilliad y gellir datrys yn haws. Cafodd ei darganfod gan y mathemategydd Brook Taylor ym 1715.

Os yw $u=u(x)$ a $du=u'(x)\,dx$, tra bod $v=v(x)$ a$dv=v'(x)dx$, yna mae'r fformiwla integru fesul rhan yn nodi bod

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\[6pt]&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}$

Neu'n fwy cryno,

$\int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.$

Deillio'r fformiwla

Gellir deillio'r theorem fel a ganlyn. Ar gyfer dau ffwythiant differadwy di-dor u(x) a v(x), mae'r rheol lluoswm differu yn dweud bod:

${\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\ =\ v(x)u'(x)+u(x)v'(x).$

Mae integru'r ddwy ochr mewn perthynas ag x yn rhoi:

$\int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx\ =\ \int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,$

ac mae sylweddoli taw integryn amhendant yw gwrthddeilliad yn rhoi:

$u(x)v(x)\ =\ \int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,$

lle does dim angen nodi' cysonyn integru. Mae hyn yn cynhyrchu'r fformiwla ar gyfer integru fesul rhan:

$\int u(x)v'(x)\,dx\ =\ u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,$

neu yn nhermau'r deilliannau$\ du=u'(x)\,dx,\ \ dv=v'(x)\,dx,\quad$

$\int u(x)\,dv\ =\ u(x)v(x)-\int v(x)\,du.$

Enghreifftiau

Mae integreiddio â rhannau yn broses hewristig yn hytrach na mecanyddol yn unig ar gyfer datrys integrynnau; o ystyried swyddogaeth sengl i'w hintegreiddio, y strategaeth nodweddiadol yw gwahanu'r swyddogaeth sengl hon yn ofalus i mewn i gynnyrch dwy swyddogaeth u ( x ) v ( x ) fel ei bod yn haws gwerthuso'r annatod gweddilliol o'r fformiwla integreiddio â rhannau na'r swyddogaeth sengl. . Mae'r ffurflen ganlynol yn ddefnyddiol wrth ddangos y strategaeth orau i'w chymryd:

• Fel enghraifft syml, ystyriwch:

$\int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx\ .$

Oherwydd taw 1/x yw deilliad ln(x), gallwn wneud y rhan ln(x) y rhan u. Oherwydd taw 1/x² yw gwrthddeilliad -1/x, gallwn wneud 1/x²dx y rhan dv. Mae'r fformiwla bellach yn rhoi:

$\int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\ dx\ .$

Gellir dod o hyd i wrthddeilliad -1/x² gyda'r rheol pŵer.

• Weithiau mae dod o hyd i gyfuniadau sy'n cynhyrchu atebion syml ddim yn sythweladwy, ac yn aml mae angen arbrofi. Fel enghraifft arall, ystyriwch:

$\int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx.$

Os dewiswn u(x) = ln(|sin(x)|), ac v(x) = sec²(x), yna mae u yn differu i 1/tan(x) ac mae v yn integru i tan(x); felly mae'r fformiwla yn rhoi:

$\int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ .$

Mae'r integrand yn symleiddio i 1, felly ei gwrthddeilliad yw x.