Isomorffedd

Mewn mathemateg, isomorffedd yw'r homomorffedd neu forffedd (h.y. mapio mathemategol) a ellir ei gildroi drwy forffeg cildroadwy. Daw'r gair o'r Hen Roeg ἴσος isos "hafal", a μορφή morphe "ffurf" neu "siâp". Dywedir bod dau wrthrych yn isomorffig os oes isomorffeg yn bodoli rhyngddynt. "Otomorffedd" (neu 'awtomorffedd') yw'r isomorffedd sydd a'i ffynhonnell a'i darged yn cyd-daro. Ni ellir gwahaniaethu rhwng dau wrthrych gyda phriodweddau yn unig (h.y. priodweddau a ddefnyddir i ddiffinio morffedd): rhaid ystyried y priodweddau a'r canlyniadau.

Mae'r grŵp o'r 5ed undod isradd (neu rifau de Moivre), o luosi yn isomorffig i'r grŵp o gylchdroeon y pentagon rheolaidd a luniwyd.

Yng nghyd-destun strwythurau algebraidd (gan gynnwys modrwyau agrwpiau), mae homomorffedd yn isomorffedd os a dim ond os yw'n ddeudafl (bijective).

Mae isomorffedd canonaidd yn fap canonaidd sy'n isomorffedd. Dywedir fod dau wrthrych yn isomorffedd canonaidd os oes isomorffedd canonaidd rhyngddynt. Er enghraifft, mae'r map canonaidd o ddimensiwn meidraidd y gofod fector i'w ail ofod deuol yn isomorffedd canonaidd; ar y llaw arall, mae V yn isomorffig i'w ofod deuol ond nid yw'n gyffredinol ddeuol.

Ffurfiolir yr isomorffedd drwy ddefnyddio theori categori. Mae morffedd f : X → Y mewn categori yn isomorffedd os yw'n caniatáu gwrthdro dwy-ochr, sy'n golygu fod ail morffedd g : Y → X yn y categori hwnnw, fel bod gf = 1_X a fg = 1_Y, ble mae 1_X a 1_Y yn forffeddau unfath o X ac Y, yn ôl eu trefn.

Logarithmau ac esbonyddol

Gadewch i $\mathbb {R} ^{+}$ fod yn grŵp lluosol o rifau real positif, a gadewch i $\mathbb {R}$ fod y grŵp adiol y rhifau real.

Mae ffwythiant y logarithm $\log \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ yn bodloni $\log(xy)=\log x+\log y$ am bob $x,y\in \mathbb {R} ^{+}$, felly mae'n grŵp-isomorffedd. Mae'r ffwythiant esbonyddol (exponential function) $\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ yn bodloni $\exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)$ am bob $x,y\in \mathbb {R}$, felly mae ef hefyd yn homomorffedd.

Mae'r unfathiant $\log \exp x=x$ a $\exp \log y=y$ yn dangos fod $\log$ a $\exp$ yn ffwythiannau gwrthdro o'i gilydd. Gan fod $\log$ yn homomorffedd sydd a gwrthdro, sydd hefyd yn homomorffig, yna mae $\log$ yn isomorffedd o'r grwpiau.

Gan fod $\log$ yn isomorffedd, mae'n trawsfudo lluosi rhifau real yn adio rhifau real.