Prawf drwy wrthddywediad

Mae prawf trwy wrthddywediad yn un o'r profion mathemategol a ddefnyddir i brofi (neu wrthbrofi) datganiad mathemategol. Mae'n fath o brawf anuniongyrchol sy'n sefydlu gwirionedd neu ddilysrwydd cynnig. Mae'n dechrau trwy dybio bod y cynnig cyferbyniol (neu groes) yn wir, ac yna'n dangos bod rhagdybiaeth o'r fath yn arwain at wrthddywediad.

Yn y prawf hwn, yna os yw rhan o ddatganiad yn wir, mae gwrthddywediad rhesymegol yn digwydd, felly mae'n rhaid i'r datganiad fod yn ffug. Mae enghraifft enwog o brawf trwy wrth-ddweud yn dangos bod ${\sqrt {2}}$ yn rhif anghyfrifol:

Tybwch fod ${\sqrt {2}}$ yn rhif rhesymegol, felly yn ôl diffiniad ${\sqrt {2}}={a \over b}$ lle mae a a b yn gyfanrifau di-sero heb ffactor cyffredin. (Os oes ffactor cyffredin, rhannwch y ddau rifydd a'r enwadur gan y ffactor hwnnw i'w ddileu, a'i ailadrodd nes nad oes ffactor cyffredin yn parhau. Drwy ddull ddisgyniad anfeidraidd (infinite descent), mae'n rhaid i'r broses hon ddod i ben.) Felly, $b{\sqrt {2}}=a$. Mae ail-isradd y ddwy ochr yn cynhyrchu 2b² = a². Felly mae a² yn eilrif, sy'n awgrymu fod yn rhid i a hefyd fod yn eilrif. Felly mae a = 2c, ble mae c hefyd yn gyfanrif. Mae amnewid i'r hafaliad gwreiddiol yn rhoi 2b² = (2c)² = 4c² ac mae rhannu'r ddwy ochr gyda 2 yn rhoi b² = 2c². Ond, yna, drwy ddefnyddio'r un ddadl a chynt, gellir rhannu 2 gyda b², felly mae'n rhaid fod b yn eilrif. Fodd bynnag, os yw a a b yn eilrifau, yna mae ganddyn nhw ffactor cyffredin, sef 2. Mae hyn yn croes-ddweud ein tybiaeth gwreiddiol, felly mae'n rhaid i ni ddod i'r canlyniad fod ${\sqrt {2}}$ yn rhif anrhesymegol.

Termau

Mae'r gair 'gwrthddywediad' yn deillio o'r gair bob-dydd 'gwrth-ddweud', a gelwir 'prawf drwy wrthddywediad' yn derm reductio ad absurdum, sef y Lladin am "trwy leihau i'r abswrd".