Problem bocs Bertrand

Mae problem bocs Bertrand (neu baradocs bocs Bertrand) yn broblem mewn damcaniaeth tebygolrwydd elfennol, a osodwyd gyntaf gan Joseph Bertrand yn 1889 yn ei waith Calcul des probabilités. Weithiau fe'i helwir yn baradocs gan fod ganddo ddatrysiad efallai yn anreddfol.

Mae'r broblem yn dechrau gyda thri bocs, ac ni wyddwn eu cynnwys i ddechrau.

Mae yna dri bocs:

bocs sy'n cynnwys dau ddarn aur,
bocs sy'n cynnwys dau ddarn arian,
bocs sy'n cynnwys un darn aur ac un darn arian.

Rydym yn dewis bocs ar hap ac yn tynnu un darn allan ohono ar hap. Os yw hynny'n digwydd bod yn ddarn aur, beth yw'r tebygolrwydd bydd y darn nesaf a dynnir o'r un blwch hefyd yn ddarn aur?

Datrysiad

Efallai mae'n ymddangos taw'r tebygolrwydd bydd y darn arian sy'n weddill yn aur yw 1/2, ond mewn gwirionedd, y tebygolrwydd yw 2/3.

Problem bocs Bertrand: y tri chanlyniad sydd yr un mor debygol ar ôl dewis y darn aur gyntaf. Y tebygolrwydd o ddewis darn aur arall o'r un bocs yw 0 yn (a), ac 1 yn (b) ac (c). Felly, y tebygolrwydd cyffredinol o dynnu darn aur arall yw 0/3 + 1/3 + 1/3 = 2/3.

Dwy broblem sy'n debyg iawn yw broblem Monty Hall y Tri Charcharor.

Esboniad

Gallwn labeli'r tri bocs GG (dau ddarn aur), SS (dau ddarn arian), ac GS (un darn aur ac un darn arian). Mae un ffordd anghywir o feddwl am y broblem nawr yn rhoi tebygolrwydd o 1/2:

Yn wreiddiol, roedd y tri bocs yr un mor debygol o gael eu dewis.
Ni all y bocs a ddewisir fod y bocs SS.
Felly mae'n rhaid iddo fod bocs GG neu focs GS.
Mae'r ddau bosibilrwydd sy'n weddill yr un mor debygol. Felly'r tebygolrwydd taw'r bocs a ddewisir oedd GG, ac felly bod yr ail ddarn arian arall hefyd yn aur, yw 1/2.

Ond mae gwall yn y cam olaf. Er ei fod yn wir fod y ddau achos hynny'r un mor debygol yn wreiddiol, gan eich bod yn gwybod eich bod wedi dewis darn aur, mae'r tebygolrwyddau yn newid. Rydych yn sicr o ddod o hyd i ddarn aur pe byddech wedi dewis y bocs GG, ond dim ond 50% yn sicr o ddod o hyd i ddarn aur pe byddech wedi dewis y bocs GS, yn golygu eu bod ddim yr un mor debygol mwyach o ystyried eich bod wedi eisoes dod o hyd i ddarn aur. Yn benodol:

Y tebygolrwydd y byddai GG yn cynhyrchu darn aur yw 1.
Y tebygolrwydd y byddai SS yn cynhyrchu darn aur yw 0.
Y tebygolrwydd y byddai GS yn cynhyrchu darn aur yw 1/2.

I ddechrau mae GG, SS a GS yr un mor debygol $\left(\mathrm {h.y.,P(GG)=P(SS)=P(GS)} ={\frac {1}{3}}\right)$ . Felly, yn ôl theorem Bayes, y tebygolrwydd amodol taw GG yw'r bocs a ddewiswyd, o ystyried ein bod wedi arsylwi darn aur, yw:

\mathrm {P(GG\mid gweld\ aur)={\frac {P(gweld\ aur\mid GG)\times {\frac {1}{3}}}{P(gweld\ aur\mid GG)\times {\frac {1}{3}}+P(gweld\ aur\mid SS)\times {\frac {1}{3}}+P(gweld\ aur\mid GS)\times {\frac {1}{3}}}}} ={\frac {\frac {1}{3}}{\frac {1}{3}}}\times {\frac {1}{1+0+{\frac {1}{2}}}}={\frac {2}{3}}

Gallwn hefyd deillio'r ateb cywir o 2/3 fel a ganlyn:

Yn wreiddiol, roedd pob un o'r chwe darn yr un mor debygol o gael eu dewis.
Cafodd darn aur ei ddewis (G).
Mae'r darn hwn naill ai'r darn aur yn bocs GS, y darn aur cyntaf yn GG, neu'r ail ddarn aur yn GG.
Mae'r tri phosibilrwydd hyn yr un mor debygol, felly'r tebygolrwydd bod y darn yn dod o focs GG yw 2/3.

Fel arall, gellir nodi bod gan y bocs a ddewiswyd dau ddarn o'r un math 2/3 o'r amser. Felly, pa bynnag fath o ddarn a ddewiswyd, mae gan y bocs ddau ddarn arian o'r math hwnnw 2/3 o'r amser. Mewn geiriau eraill, mae'r broblem yn gywerth â gofyn y cwestiwn "Beth yw'r tebygolrwydd y byddaf yn dewis bocs gyda dau ddarn o'r un lliw?".

Cyfeiriadau

Bar-Hillel, Maya; Falk, Ruma (1982). "Some teasers concerning conditional probabilities". Cognition 11 (2): 109–22. doi:10.1016/0010-0277(82)90021-X. PMID 7198956.
Nickerson, Raymond (2004). Cognition and Chance: The psychology of probabilistic reasoning, Lawrence Erlbaum. Pennod 5, "Some instructive problems: Three cards", tt. 157 – 160.ISBN 0-8058-4898-3 ISBN 0-8058-4898-3
Michael Clark, Paradoxes from A to Z, t. 16;
Howard Margolis, Wason, Monty Hall, and Adverse Defaults .