Pwynt (geometreg)

Mewn mathemateg fodern, mae pwynt yn cyfeirio at ran o (neu 'elfen') o set a elwir yn "gofod".

Yn fwy penodol, mewn geometreg Ewclidaidd, mae 'bwynt' yn gysyniad neu'n ddatrysiad) mae'r geometreg wedi'i adeiladu arno, sy'n golygu na ellir diffinio pwynt o ran gwrthrychau a ddiffiniwyd eisoes. Fe'i diffinnir gan un nodwedd yn unig: gwirebau mae'n rhaid eu bodlon. Yn benodol, nid oes gan y pwyntiau geometrig unrhyw hyd, arwynebedd, cyfaint nac unrhyw briodoledd arall, o ran dimensiwn. Mae'n eitha posib fod y cysyniad o bwynt yn creu delwedd o leoliad unigryw mewn gofod Ewclidaidd.

Pwyntiau o fewn geometreg Ewclidaidd

Mae pwyntiau yn un o'r gwrthrychau mwyaf sylfaenol o fewn fframwaith geometreg Ewclidaidd. Yn wreiddiol, diffiniodd Euclid y pwynt fel "yr un sydd heb unrhyw ran". Mewn gofod dau ddimensiwn Ewclidaidd, caiff pwynt ei gynrychioli gan bâr o rifau ( $x$ , $y$ ), lle mae'r rhif cyntaf (a ddynodir gan $x$ ) yn cynrychioli'r plân llorweddol ac mae'r ail rif ( $y$ ) yn cynrychioli'r fertigol.

Mae'r syniad hwn yn cael ei gyffredinoli'n hawdd i ofod Ewclidaidd tri-dimensiwn, lle mae pwynt wedi'i gynrychioli gan ( $x$ , $y$ , $z$ ), gyda'r trydydd rhif yn cael ei ddynodi gan $z$ . Gellir cyffredinoli ymhellach gyda threfnau trefnus yn nhermau tuplet o $n$ , $(a 1, a 2, \dots , a n)$ lle mae $n$ yn dynodi dimensiwn y gofod lle lleolir y pwynt.

O fewn geometreg Ewclidaidd gellir ystyried llawer o ffurfiau yn gasgliadau neu'n rhesi o bwyntiau diddiwedd, anfeidraidd. Caiff ei gynrychioli, fel arfer, fel set o bwyntiau e.e. mae llinell yn set anfeidraidd o bwyntiau, ar ffurf ${L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace }$ , lle mae $c 1$ hyd at $c n$ a $d$ yn gysonion ac $n$ yn ddimensiwn gofod.

Yn ogystal â diffinio pwyntiau a ffurfiau sy'n gysylltiedig â phwyntiau, trafododd Euclid hefyd y cysyniad allweddol: y gellir cysylltu unrhyw ddau bwynt gan linell syth. Mae hyn yn hawdd ei gadarnhau o dan estyniadau modern o geometreg Ewclidaidd, ac roedd ganddo ganlyniadau parhaol yn ei gyflwyniad, gan ganiatáu adeiladu bron yr holl gysyniadau geometrig a oedd yn wybyddus ar y pryd hwnnw. Fodd bynnag, nid oedd cysyniadau Euclid yn gyflawn nac yn derfynol, ac yn achlysurol nid oedd ei ffeithiau-tybiedig am bwyntiau yn dilyn yn uniongyrchol o'i wirebau, megis trefnu pwyntiau ar y linell neu brofi bodolaeth pwyntiau penodol. Er gwaethaf hyn, mae datblygiadau modern y system yn dileu'r tybiaethau hyn.

Cyfeiriadau

Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61–75.
De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449–61.
Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
Alfred North Whitehead, 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. ail rifyn, 1925.
Whitehead, A. N., 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures a draddodwyd yng Ngholeg y Drindod, Caergrawnt.
Whitehead, A. N., 1979 (1929). Process and Reality. Free Press.