Cyfres Fourier: Gwahaniaeth rhwng fersiynau
Cynnwys wedi'i ddileu Cynnwys wedi'i ychwanegu
manion |
Rhyshuw1 (sgwrs | cyfraniadau) bach o bulk! |
||
Llinell 1:
Mewn [[mathemateg]], mae '''cyfres Fourier''' yn ffordd o dadansoddi [[ffwythiant cyfnodol|ffwythiannau]] neu signalau cyfnodol i mewn i swm o [[sin]]au a [[cosin|chosinau]].
===Formiwla fourier ar gyfer ffwythiannau cyfnodol 2''π''===
Ar gyfer ffwythiant cyfnodol ''ƒ''(''x'') sy'n medru integru ar [−''π'', ''π''], mae'r rhifau :<br />
<math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0</math> <br />
<math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1</math> <br />
yn cael ei alw'n cyfernodau fourier o ''ƒ''. Cyfwlynwyd ''symiau rhannol y cyfres fourier'' ar gyfer ''ƒ'', dynodwyd gan: :<math>(S_N f)(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)], \quad N \ge 0.</math> <br />
Mae'r symiau rhannol ''ƒ'' yn polynomialau trigonometrig.
====Esiampl o cyfres fourier syml====
{| align="center"
|-
|[[Image:sawtooth pi.svg|thumb|chwith|400px|Plot o ffwythiant cyfnodol]]
|
|[[Image:Periodic identity function.gif|thumb|chwith|400px|Y pump cyfres fourier rhannol cyntaf.]]
|
|}
Defnyddiwn y fformiwla uchod i didwytho'r Cyfres Fourier. Ystyriwch ton ''dant llif'':
<math>f(x) = x, \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi,</math> :<math>f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{for } -\infty < x < \infty.</math><br />
Yn yr achos yma rhoddir y cyfernodau gan:<br />
<math>\begin{align} a_0 &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx = 0. \\ a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\ b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) + \frac{2}{\pi n^2}\sin(n\pi) = 2 \, \frac{(-1)^{n+1}}{n}, \quad n \ge 1.\end{align}</math>
<br />
Gellir profi bod y cyfres yn cydgyfeirio i ''f(x)'' at pob pwynt ''x'' lle mae ''f'' yn medru cael ei ddifferu, felly:
<math>
\begin{align}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\
&=2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{for} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbf{Z}.
\end{align}
</math>
Pan mae ''x=π'', mae'r cyfres Fourier yn cydgyfeirio i 0, sy'n hanner swm or terfyn chwith a dde o ''f'' ar ''x=π''. Mae esiampl yma yn dangos theorem Dirichlet ar cyfres Fourier.
[[categori:Mathemateg]]
| |||