Trefnolyn

Cyfeiria'r erthygl isod at y cysyniad o rif trefnol mewn mathemateg bur. Ar gyfer y geiriau am drefnolion mewn gwahanol ieithoedd, gw. Trefnol (ieithyddiaeth).

Mewn damcaniaeth setiau, math penodol o rhif yw trefnolyn (hefyd rhif trefnol neu drefnolyn traws-feidraidd). Fe'u cyflwynwyd gyntaf ym 1897 gan Georg Cantor. Maent yn estyniad o'r rhifau naturiol sy'n wahanol i'r cyfanrifau a'r rhifolion.

Llwyr-drefniad gydag anwythiad traws-feidraidd yw iawn-drefniad. Gallem feddwl am drefnolion fel dosbarthiadau cyfwerthedd o setiau wedi eu llwyr-drefnu, lle mai isomorffedd trefn yw'r perthynas cyfwerthedd. Cymerwn mai set y trefnolion sy'n llai nag ef yw pob trefnolyn. Gallwn ddosbarthu trefnolion yn sero, trefnolion olynyddion, a threfnolion terfannau. Gellir diffinio adio, lluosi ac esbonyddu trefnolion. Gellir mynegi unrhyw drefnolyn mewn ffurf safonol Cantor. Mae sawl trefnolyn i bob rhifolyn anfeidraidd. Mae yna dopoleg naturiol ar y trefnolion.

Trefnolion fel estyniad o'r rhifau naturiol

Gellir defnyddio rhif naturiol at ddau bwrpas: i ddisgrifio maint set, neu i ddisgrifio lleoliad elfen mewn dilyniant. Wrth drafod y "byd" meidraidd, mae'r ddau gysyniad yn cyd-fynd, ond wrth drafod setiau anfeidraidd mae'n rhaid gwahaniaethu rhwng y ddau. Deillia'r rhifolion o'r cysyniad o faint, tra fod y trefnolion a ddisgrifir yma yn deillio o gyffredinoli'r cysyniad o leoliad neu drefn.

Tra fod y cysyniad o rifolyn yn ymwneud â set heb unrhyw strwythur arbennig iddi, mae yna gysylltiad agos rhwng trefnolyn a math arbennig o set a gelwir yn set iawn-drefnedig. Yn gryno, mae set iawn-drefnedig yn set llwyr-drefnedig (gellir dweud pa un o unrhyw ddwy elfen sydd yn fwy neu'n llai) lle nad oes dilyniant lleihaol anfeidraidd (fe all gynnwys dilyniant cynyddol anfeidraidd fodd bynnag). Gellir defnyddio trefnolion i labelu'r elfennau mewn unrhyw set iawn-drefnedig a roddir, ac i fesur "hyd" (math trefn) yr holl set gyda'r trefnolyn lleiaf nad yw'n label i unrhyw elfen o'r set.

Rhoddir unrhyw drefnolyn gan y set o drefnolion sy'n llai nag ef: yn wir, mae'r diffiniad mwyaf cyffredin yn diffinio pob trefnolyn i fod y set honno. Er enghraifft, math trefn y set o drefnolion {0,1,2,...,41} yw'r trefnolyn 42, ac yn ôl y diffiniad cyffredin, y set honno ydyw. Hefyd, mae unrhyw set o drefnolion sy'n gaeedig am i lawr (hynny yw fod unrhyw drefnolyn sy'n llai na threfnolyn sydd yn y set hefyd ynddi) yn drefnolyn.

Hyd yma, trafodasom trefnolion meidraidd (rhifau naturiol) yn unig. Ond mae yna rai anfeidrol yn ogystal: y lleiaf ohonynt yw ω, math trefn y trefnolion meidraidd (neu'n gyfwerth, y set o rifau naturiol).

Cynrychioliad weledol o'r trefnolyn ω². Mae pob ffon yn cynrychioli trefnolyn â'r ffurf ω·m+n lle mae m ac n yn rifau naturiol.

Hwyrach y gellid ffurfio syniad greddfol gwell o'r trefnolion trwy archwilio ychydig ohonynt: maent yn cychwyn gyda'r rhifau naturiol 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Wedi'r rhain i gyd, daw'r trefnolyn anfeidraidd cyntaf, ω, a wedyn daw ω+1, ω+2, ω+3, ac yn y blaen. Wedi'r rhain i gyd ddaw ω·2 (sef ω+ω), ω·2+1, ω·2+2, ac yn blaen, yna ω·3, ac yna wedyn ω·4. Rhaid fod trefnolyn yn cynrychioli'r set o drefnolion a ffurfid fel hyn (ω·m+n, lle mae m ac n yn rifau naturiol): ω² yw hwnnw. Ymhellach wedyn, cawn ω³, yna ω⁴, ac yn y blaen, ac ω^ω, yna ω^ω², a llawer ymhellach ε₀ (dim ond ychydig o enghreifftiau o'r trefnolion lleiaf - rhai rhifadwy - yw'r rhain). Gallem barhau fel hyn yn ddiddiwedd (mor bell ac y dymunem - yn y bôn, pan mae rhywun yn dweud "ac yn y blaen" wrth gyfri trefnolion, mae'n diffinio trefnolyn mwy).