Theorem gwaddod

Mewn dadansoddi cymhleth, disgyblaeth o fewn mathemateg, mae'r theorem gwaddod, a elwir weithiau'n theorem gwaddod Cauchy, yn offeryn pwerus i werthuso integrynnau amlin o ffwythiannau analytig dros gromliniau caeedig; yn aml gellir ei ddefnyddio i gyfrifo integrynnau real, a hefyd i gyfrifo cyfresi anfeidraidd. Mae'n cyffredinoli theorem integryn Cauchy a fformiwla integryn Cauchy. O safbwynt geometregol, gellir ei ystyried yn achos arbennig o theorem gyffredinol Stokes.

Datganiad

Mae'r datganiad fel a ganlyn:

Darlun o'r lleoliad.

Gadewch i U fod yn is-set agored gysylltiedig syml o'r plân cymhlyg sy'n gynnwys set meidraidd o bwyntiau a₁, ..., a_n, U₀ = U \ {a₁, ..., a_n}, a ffwythiant f sydd wedi'i diffinio ac yn holomorffig ar U₀. Gadewch γ fod yn gromlin gaeedig yn U₀, ac yn dynodi rhif dirwyniad (winding number) γ o gwmpas a_k gan I(γ, a_k). Mae'r integryn amlin o f o amgylch γ yn hafal i 2πi lluosi swm gwaddodion f yn y pwyntiau, pob un yn cael ei gyfrif cymaint o weithiau y mae γ yn troelli o amgylch y pwynt:

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).$

Os yw γ yn gromlin gaeedig syml sydd wedi'i gogwyddo'n bositif, mae I(γ, a_k) = 1 os yw a_k tu mewn i γ, a 0 os na, felly

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})$

gyda'r swm dros yr a_k sydd tu mewn γ.

Er mwyn gyfrifo integrynnau real, defnyddir y theorem gwaddod yn y ffordd ganlynol: rydym yn ymestyn yr integrand i'r plân cymhlyg a chyfrifo'i gwaddodion (sydd fel arfer yn hawdd), ac rydym yn ymestyn rhan o'r echel real i gromlin gaeedig trwy atodi hanner cylch yn yr hanner plân uchaf neu isaf, gan ffurfio hanner cylch. Yna gallwn gyfrifo'r integryn dros y gromlin hon gan ddefnyddio'r theorem gwaddod. Yn aml, bydd rhan hanner cylch yr integryn yn tueddu tuag at sero wrth i radiws yr hanner cylch dyfu, gan adael dim ond rhan echel real yr integryn, yr un yr oedd gennym ddiddordeb ynddo yn wreiddiol.

Enghreifft

Integryn ar hyd yr echel go iawn

Mae'r integryn

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx$

Yr amlin C.

yn codi mewn theori tebygolrwydd wrth gyfrifo ffwythiant nodweddiadol y dosraniad Cauchy. Nid yw'n hawdd ei gyfrifo gan ddefnyddio technegau calcwlws elfennol, ond gellir ei gyfrifo trwy ei fynegi fel terfan integrynnau amlin.

Tybiwch fod t > 0, a diffiniwch yr amlin C sy'n mynd ar hyd y llinell real o −a i a, ac yna'n wrthglocwedd ar hyd hanner cylch wedi'i ganoli ar 0 o a i −a. Cymerwch a i fod yn fwy nag 1, fel bod yr uned ddychmygol wedi'i hamgáu o fewn y gromlin. Nawr, ystyriwch yr integryn amlin

$\int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.$

Gan fod e^itz yn ffwythiant cyfan (heb unrhyw hynodion ar unrhyw bwynt yn y plân cymhlyg), mae gan y ffwythiant hwn hynodion ond lle mae'r enwadur z² + 1 yn sero. Gan fod z² + 1 = (z + i)(z − i), mae hwn yn sero yn z = i ac z = −i. Dim ond un o'r pwyntiau hynny sydd yn y rhanbarth sydd wedi'i ffinio gan yr amlin hon. Gan fod f(z) yn

${\begin{aligned}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}&={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\\&={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\end{aligned}}$

gwaddod f(z) yn z = i yw

$\operatorname {Res} _{z=i}f(z)={\frac {e^{-t}}{2i}}.$

Yn ôl y theorem gwaddod felly, mae gennym

$\int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} \limits _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.$

Gellir ymrannu'r amlin C i mewn i'r rhan syth a'r arc grom, fel bod

$\int _{\mathrm {syth} }f(z)\,dz+\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz=\pi e^{-t}\,$

ac felly

$\int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\pi e^{-t}-\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz.$

Gan ddefnyddio'r Lema Amcangyfrif, mae gennym

$\left|\int _{\mathrm {arc} }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}\left|{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}{\frac {1}{|z^{2}+1|}}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},$

ac

$\lim _{a\to \infty }{\frac {\pi a}{a^{2}-1}}=0.$

Felly, mae

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-t}.$

Os yw t < 0 yna mae dadl debyg gydag arc C' sy’n troelli o gwmpas −i yn hytrach nag i yn dangos fod

Yr amlin C'.

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{t},$

ac felly, yn olaf mae gennym

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$

(Os yw t = 0 yna mae'r integryn yn lleihau i rywbeth gallwn ddefnyddio ddulliau calcwlws elfennol arno, a'i werth yw π. )

Cyfeiriadau

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.
• Lindelöf, Ernst L. (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (yn Ffrangeg). Editions Jacques Gabay (cyhoeddwyd 1989). ISBN 2-87647-060-8.
• Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984). The Cauchy method of residues: Theory and applications. D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4.
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1920). A Course of Modern Analysis (arg. 3rd). Cambridge University Press.