Dadansoddi cymhlyg

Cangen o fathemateg yw dadansoddiad cymhlyg, a gaiff ei hadnabod fel "damcaniaeth ffwythiannau y newidyn cymhlyg". Mae'n ymwneud â'r astudiaeth o ffwythiannau rhifau cymhlyg. Mae'n ddefnyddiol o fewn sawl maes, gan gynnwys: geometreg algebraidd, damcaniaeth rhifau, combinatorics dadansoddol, a mathemateg gymhwysol ac oddi fewn i ffiseg: hydrodynameg, thermodynameg a mecaneg cwantwm. Caiff hefyd ei hymestyn i feysydd peirianneg e.e. ffiseg niwclear, peiranneg awyrennau a gofod ac electroneg.

Graff cylch lliw y ffwythiant f(z) = (z² − 1)(z + 2 − i)² / (z² + 2 - 2i).
Mae arlliw yn cynrychioli'r ymresymiad
a disgleirdeb yn cynrychioli maint.

Mae ffwythiant differadwy newidyn cymhlyg yn hafal i gyfanswm ei gyfres Taylor (h.y. mae'n ddadansoddol); gan hynny, mae'n ymwneud â ffwythiannau holomorffig.

Ffwythiannau cymhlyg

Ffwythiant cymhlyg ydy'r ffwythiant hwnnw lle mae ei barth a'i amrediad yn is-setiau o'r plân cymhlyg. Gellir mynegi hyn hefyd, drwy ddweud bod y newidyn annibynnol a'r newidyn dibynnol ill dau yn rhifau cymhlyg.

I fod yn fanwl gywir, mae'n ffwythiant o is-set o'r plân cymhlyg i'r rhifau cynhlyg.

Mewn unrhyw ffwythiant cymhlyg, gellir gwahanu'r newidynnau dibynnol ac annibynnol yn rhannau real a dychmygol:

$z=x+iy\,$ ac

$w=f(z)=u+iv\,$,

lle mae $x,y,u,v\in \mathbb {R} .$

Mae'n dilyn y gallem ddehongli cydrannau'r ffwythiant,

$u=u(x,y)\,$ ac

$v=v(x,y)\,$,

fel ffwythiannau real o dau newidyn real, $x\,$ ac $y\,$.

Defnyddir estyniad o ffwythiannau real (esbonyddol, logarithmig, trigonometrig) i'r parth cymhlyg yn aml fel cyflwyniad i ddadansoddi cymhlyg.

Felly

Ar gyfer unrhyw ffwythiant cymhlyg, gellir gwahanu gwerthoedd $z$ y parth a'u delweddau $f(z)$ yn yr amrediad i: rannau real a rhannau dychmygol:

$z=x+iy\quad$ a $\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$,

ble mae $x,y,u(x,y),v(x,y)$ i gyd yn werthoedd real.

Mewn geiriau eraill, mae'r ffwythiant cymhlyg $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ yn dadelfennu i

$u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad$ a $\quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,$

h.y., mae'n dadelfennu i ddau ffwythiant sydd â gwerthoedd-real ($u$, $v$) o'r ddau newidyn real ($x$, $y$).

Ffwythiannau holomorffig

Dywedir bod ffwythiannau cymhlyg differadwy, ar bob pwynt o is-set agored $\Omega$ o'r plân cymhlyg, yn "holomorffig" ar $\Omega$. Yng nghyd-destun dadansoddi cymhlyg, diffinnir deilliadau $f$ ar $z_{0}$ fel:

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}},z\in \mathbb {C}$.

Llyfryddiaeth

• Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3ydd rhifyn. (McGraw-Hill, 1979).
• Stephen D. Fisher, Complex Variables, ail rifyn. (Dover, 1999).
• Constantin Carathéodory, Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, Efrog Newydd). [2 gyfrol.]
• Peter Henrici , Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Tair cyfrol: 1974, 1977, 1986.]
• Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10fed rhifyn., Ch.13-18 (Wiley, 2011).
• Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Tair cyfrol.]
• Jerrold E. Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. 3ydd rhifyn. (Freeman, 1999).
• Tristan Needham, Visual Complex Analysis (Rhydychen, 1997).
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3ydd rhifyn. (McGraw-Hill, 1986).
• Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
• Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Caergrawnt, 2006).
• Murray R. Spiegel Theory and Problems of Complex Variables - with an introduction to Conformal Mapping and its applications (McGraw-Hill, 1964).
• Stein & Shakarchi, Complex Analysis (Princeton, 2003).
• Ablowitz & Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Caergrawnt, 2003).