Amrywiant

Mewn damcaniaeth tebygolrwydd ac ystadegaeth, amrywiant yw disgwyliad gwyriad sgwâr hapnewidyn o'i gymedr. Yn anffurfiol, mae'n mesur i ba raddau y mae set o rifau wedi'u gwasgaru o'u gwerth cymedrig. Mae gan amrywiant rôl bwysig mewn ystadegaeth, lle'i ddefnyddir ar gyfer ystadegaeth ddisgrifiadol, profi rhagdybiaeth, modelu, a samplu Monte Carlo. Mae amrywiant yn bwysig yn y gwyddorau, lle mae dadansoddiad ystadegol o ddata yn gyffredin. Yr amrywiant yw sgwâr y gwyriad safonol. Amrywiant hefyd yw ail foment ganolog dosraniad, a chydamrywiad yr hapnewidyn ag ef ei hun. Cynrychiolir amrywiant yn aml gan $\sigma ^{2}$, $s^{2}$, ac $\operatorname {Var} (X)$.

Enghraifft o ddwy boblogaeth gyda'r un cymedr ond amrywiannau gwahanol. Mae gan y boblogaeth goch gymedr 100 ac amrywiant 100 (gwiriad safonol 10) tra bod gan y boblogaeth las gymedr 100 ac amrywiant 2500 (gwiriad safonol 50).

Diffiniad damcaniaeth tebygolrwydd

Amrywiant hapnewidyn $X$ yw gwerth disgwyliedig (cymedr) y gwyriad sgwâr (pellter sgwâr) o gymedr $X$, $\mu =\operatorname {E} [X]$:

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].$

Gellir meddwl am yr amrywiant hefyd fel cydamrywiant hapnewidyn ag ef ei hun:

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X).$

Gellir ehangu'r mynegiad ar gyfer yr amrywiant fel a ganlyn:

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}$

Mewn geiriau eraill, mae amrywiant X yn hafal i gymedr sgwâr X minws sgwâr cymedr X.

Hapnewidyn arwahanol

Os yw generadur hapnewidyn $X$ yn arwahanol gyda ffwythiant màs tebygolrwydd $x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}$, yna

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2},$

lle $\mu$ yw'r gwerth disgwyliedig (cymedr). Hynny yw,

$\mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}.$

Hapnewidyn parhaus

Os oes gan hapnewidyn $X$ ffwythiant dwysedd tebygolrwydd $f(x)$, gofod cyflwr (parth) Ω, a ffwythiant dosraniad cronnus cyfatebol $F(x)$, yna

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\Omega }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\Omega }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\Omega }x^{2}\,f(x)\,dx-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int _{\Omega }x^{2}\,f(x)\,dx-\mu ^{2},\end{aligned}}$

lle$\mu$ yw gwerth disgwyliedig (cymedr) $X$ a roddir gan

$\mu =\int _{\Omega }xf(x)\,dx$

Enghreifftiau

Dis teg

Gellir modelu dis teg chwe ochr fel hapnewidyn arwahanol, X, gyda chanlyniadau 1 i 6, pob un â thebygolrwydd cyfartal 1/6. Gwerth disgwyliedig X yw $(1+2+3+4+5+6)/6=7/2.$ Felly, amrywiant X yw

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}$

Dosraniad esbonyddol

Mae dosraniad esbonyddol gyda pharamedr λ yn ddosraniad parhaus, a rhoddir ei ffwythiant dwysedd tebygolrwydd gan

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$

ar y cyfwng Ω = [0, ∞). Gellir dangos ei gymedr yw

$\operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }\lambda xe^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.$

Gan ddefnyddio integreiddio fesul rhan, a defnyddio'r gwerth disgwyliedig a gyfrifwyd eisoes, mae gennym:

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\int _{0}^{\infty }\left(x-{\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&=\lambda \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-\lambda x}dx-2\int _{0}^{\infty }xe^{-\lambda x}dx+{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}dx\\&=\lambda {\frac {2}{\lambda ^{3}}}-2{\frac {1}{\lambda ^{2}}}+{\frac {1}{\lambda }}{\frac {1}{\lambda }}\\&={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\end{aligned}}$

Diffiniad Ystadegaeth

Yn nodweddiadol ni all arsylwadau yn y byd go iawn fod setiau cyflawn o'r holl arsylwadau posibl y gellid eu gwneud, na fydd amleddau'r arsylwadau yn cynrychioli'r tebygolrwyddau yn fanwl cywir. Felly, yn gyffredinol ni fydd yr amrywiant a gyfrifir o'r set gyfyngedig yn cyfateb i'r amrywiant a fyddai wedi'i gyfrifo o'r boblogaeth lawn o arsylwadau posibl. Mae hyn yn golygu bod rhaid yn amcangyfrif y cymedr a'r amrywiant a fyddai wedi cael ei gyfrif o set gyflawn o arsylwadau trwy ddefnyddio hafaliad amcangyfrif. Gelwir hwn yr amrywiant sampl.

Rydym yn cymryd sampl o n gwerth Y₁, ..., Y_n o'r boblogaeth, ac amcangyfrif yr amrywiant ar sail y sampl hon. Mae cymryd amrywiant y data sampl yn uniongyrchol yn rhoi:

$\sigma _{Y}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}.$

Fan hyn mae ${\overline {Y}}$ yn dynodi cymedr y sampl:

${\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}.$

Oherwydd dewiswyd Y_i ar hap, mae ${\overline {Y}}$ ac $\sigma _{Y}^{2}$ yn hapnewidynnau. Gallwn gyfrifo'u gwerthoedd disgwyliedig gan:

${\begin{aligned}\operatorname {E} [\sigma _{Y}^{2}]&=\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\right)^{2}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}-{\frac {2}{n}}Y_{i}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\sum _{k=1}^{n}Y_{k}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {n-2}{n}}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\sum _{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y_{i}Y_{j}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}Y_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}^{2}\right]\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {n-2}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-{\frac {2}{n}}(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}n(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\right]\\[5pt]&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.\end{aligned}}$

Felly mae $\sigma _{Y}^{2}$ yn rhoi amcangyfrif o'r amrywiant poblogaeth sydd â bias ffactor o ${\frac {n-1}{n}}$. Felly fe elwir $\sigma _{Y}^{2}$ yr amrywiant sampl bias. Mae cywiro ar gyfer y bias hwn yn rhoi'r amrywiant sampl diduedd, a ddynodir gan $s^{2}$:

$s^{2}={\frac {n}{n-1}}\sigma _{Y}^{2}={\frac {n}{n-1}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}\right)={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}.$