Mewn damcaniaeth tebygolrwydd ac ystadegaeth, amrywiant yw disgwyliad gwyriad sgwâr hapnewidyn o'i gymedr. Yn anffurfiol, mae'n mesur i ba raddau y mae set o rifau wedi'u gwasgaru o'u gwerth cymedrig. Mae gan amrywiant rôl bwysig mewn ystadegaeth, lle'i ddefnyddir ar gyfer ystadegaeth ddisgrifiadol, profi rhagdybiaeth, modelu, a samplu Monte Carlo. Mae amrywiant yn bwysig yn y gwyddorau, lle mae dadansoddiad ystadegol o ddata yn gyffredin. Yr amrywiant yw sgwâr y gwyriad safonol. Amrywiant hefyd yw ail foment ganolog dosraniad, a chydamrywiad yr hapnewidyn ag ef ei hun. Cynrychiolir amrywiant yn aml gan , , ac .[1]

Enghraifft o ddwy boblogaeth gyda'r un cymedr ond amrywiannau gwahanol. Mae gan y boblogaeth goch gymedr 100 ac amrywiant 100 (gwiriad safonol 10) tra bod gan y boblogaeth las gymedr 100 ac amrywiant 2500 (gwiriad safonol 50).

Diffiniad damcaniaeth tebygolrwyddGolygu

Amrywiant hapnewidyn   yw gwerth disgwyliedig (cymedr) y gwyriad sgwâr (pellter sgwâr) o gymedr  ,  :

 

Gellir meddwl am yr amrywiant hefyd fel cydamrywiant hapnewidyn ag ef ei hun:

 

Gellir ehangu'r mynegiad ar gyfer yr amrywiant fel a ganlyn:

 

Mewn geiriau eraill, mae amrywiant X yn hafal i gymedr sgwâr X minws sgwâr cymedr X.

Hapnewidyn arwahanolGolygu

Os yw generadur hapnewidyn   yn arwahanol gyda ffwythiant màs tebygolrwydd  , yna

 

lle   yw'r gwerth disgwyliedig (cymedr). Hynny yw,

 

Hapnewidyn parhausGolygu

Os oes gan hapnewidyn   ffwythiant dwysedd tebygolrwydd  , gofod cyflwr (parth) Ω, a ffwythiant dosraniad cronnus cyfatebol  , yna

 

lle  yw gwerth disgwyliedig (cymedr)   a roddir gan

 

EnghreifftiauGolygu

Dis tegGolygu

Gellir modelu dis teg chwe ochr fel hapnewidyn arwahanol, X, gyda chanlyniadau 1 i 6, pob un â thebygolrwydd cyfartal 1/6. Gwerth disgwyliedig X yw   Felly, amrywiant X yw

 

Dosraniad esbonyddolGolygu

Mae dosraniad esbonyddol gyda pharamedr λ yn ddosraniad parhaus, a rhoddir ei ffwythiant dwysedd tebygolrwydd gan

 

ar y cyfwng Ω = [0, ∞).[2] Gellir dangos ei gymedr yw

 

Gan ddefnyddio integreiddio fesul rhan, a defnyddio'r gwerth disgwyliedig a gyfrifwyd eisoes, mae gennym:

 

Diffiniad YstadegaethGolygu

Yn nodweddiadol ni all arsylwadau yn y byd go iawn fod setiau cyflawn o'r holl arsylwadau posibl y gellid eu gwneud, na fydd amleddau'r arsylwadau yn cynrychioli'r tebygolrwyddau yn fanwl cywir. Felly, yn gyffredinol ni fydd yr amrywiant a gyfrifir o'r set gyfyngedig yn cyfateb i'r amrywiant a fyddai wedi'i gyfrifo o'r boblogaeth lawn o arsylwadau posibl. Mae hyn yn golygu bod rhaid yn amcangyfrif y cymedr a'r amrywiant a fyddai wedi cael ei gyfrif o set gyflawn o arsylwadau trwy ddefnyddio hafaliad amcangyfrif. Gelwir hwn yr amrywiant sampl.

Rydym yn cymryd sampl o n gwerth Y1, ..., Yn o'r boblogaeth, ac amcangyfrif yr amrywiant ar sail y sampl hon.[3] Mae cymryd amrywiant y data sampl yn uniongyrchol yn rhoi:

 

Fan hyn mae   yn dynodi cymedr y sampl:

 

Oherwydd dewiswyd Yi ar hap, mae   ac   yn hapnewidynnau. Gallwn gyfrifo'u gwerthoedd disgwyliedig gan:

 

Felly mae   yn rhoi amcangyfrif o'r amrywiant poblogaeth sydd â bias ffactor o  . Felly fe elwir   yr amrywiant sampl bias. Mae cywiro ar gyfer y bias hwn yn rhoi'r amrywiant sampl diduedd, a ddynodir gan  :

 

CyfeiriadauGolygu

  1. Wackerly, Dennis D., 1945- (2008). Mathematical statistics with applications. Mendenhall, William., Scheaffer, Richard L. (arg. Seventh edition). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-11081-1. OCLC 183886598.CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: extra text (link)
  2. Stewart, William J., 1946- (2009). Probability, Markov chains, queues, and simulation : the mathematical basis of performance modeling. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 1-4008-3281-0. OCLC 756484370.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  3. Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) Applied statistics and probability for engineers, page 201. John Wiley & Sons New York