Anhafaledd Cauchy-Schwarz

Mewn mathemateg, anhafaledd sy'n ddefnyddiol mewn sawl sefyllfa wahanol yw anhafaledd Cauchy–Schwarz, (hefyd anhafaledd Schwarz, Anhafaledd Cauchy, neu Anhafaledd Cauchy–Bunyakovski–Schwarz).

Anhafaledd Cauchy-Schwarz

Enghraifft o'r canlynol	theorem
Math	triangle inequality

Cynrychiolir yr anhafaledd yn gryno fel a ganlyn:

$(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}).$

Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os, y mae

${\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\cdots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}.$

Ffordd arall o fynegi hyn yw dweud bod

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .$

ar gyfer unrhyw elfennau x ac y o ofod lluoswm mewnol real neu gymhlyg. Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os mae x ac y yn llinol-dibynnol (neu, o feddwl yn geometraidd, yn gyfochrog).

Mae'r anhafaledd felly'n darparu cysyniad o'r "ongl rhwng dau fector" i ofod lluoswm mewnol, lle nad yw geometreg Ewclidaidd yn gwneud synnwyr o reidrwydd. Mae felly'n cyfiawnhau meddwl am ofodau lluoswm mewnol fel cyffredinoliad o ofod Ewclidaidd.

Canlyniad pwysig anhafaledd Cauchy–Schwarz yw'r ffaith fod lluoswm mewnol yn ffwythiant di-dor.

Rhoddir ffurf arall o'r anhafaledd gan ddefnyddio nodiant norm:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,$

Profwyd fersiwn meidraidd-ddimensiynol yr anhafaledd hwn ar gyfer fectorau real gan Cauchy yn 1821, ac yn 1859 profodd V.Ya.Bunyakovsky ei fod yn bosib canfod ffurf integraidd o anhafaledd Cauchy. Profwyd y canlyniad cyffredinol ar gyfer gofod lluoswm mewnol gan K.H.A.Schwarz ym 1885.

Prawf

Gan fod yn amlwg fod yr anhafaledd yn wir pan mae y = 0, fe gawn gymryd fod <y, y> yn an-sero. Gadewch i $\lambda$ fod yn rhif cymhlyg. Yna mae

$0\leq \left\|x-\lambda y\right\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -{\bar {\lambda }}\langle x,y\rangle -\lambda \langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .$

Gan ddewis

$\lambda =\langle x,y\rangle \cdot \langle y,y\rangle ^{-1}$

gwelwn fod

$0\leq \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\cdot \langle y,y\rangle ^{-1}$

sy'n wir os, a dim ond os y mae

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

hynny yw:

${\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|,$

Sef anhafaledd Cauchy-Schwarz.

Achosion arbennig nodedig

Rⁿ

Mewn gofod Ewclidaidd Rⁿ, gyda'r lluoswm mewnol arferol, dyma anhafaledd Cauchy-Schwarz:

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).$

L²

Yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau sqwâr-integraidd â gwerthoedd cymhlyg, mae gennym fod:

$\left|\int f(x){\overline {g}}(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx.$

Mae anhafaledd Hölder yn gyffredinoliad o hyn.

Defnydd

Fe'i defnyddir yn aml i brofi'r anhafeledd triongl ar gyfer y lluoswm mewnol: cymerwch fectorau x ac y,

$\|x+y\|^{2}$	$=\langle x+y,x+y\rangle$
	$=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}$
	$\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}$
	$\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}$
	$=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}$

Mae cymryd ail-israddau'n rhoi'r anhafaledd triongl.

Gellir defnyddion anhafaledd Cauchy–Schwarz wrth brofi anhafaledd Bessel.

Deillir ffurf cyffredinol egwyddor ansicrwydd Heisenberg trwy ddefnyddioanhafaledd Cauchy-Schwarz inequality yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau ton ffisegol.

Cyffredinoliadau

Mae yna sawl cyffredinoliad posib o anhafaledd Cauchy-Schwarz yng nghyd-destyn haniaeth gweithredyddion.