Gofod Euclidaidd

Data cyffredinol
Math	complete metric space, Hilbert space, Gofod affin, analytic manifold, real vector space, finite dimension vector space, space in mathematics

Mewn geometreg, mae gofod Euclidaidd yn cynnwys y plân Euclidaidd dau ddimensiwn, y gofod tri dimensiwn o geometreg Euclidaidd, a dimensiynau uwch.

O fewn gofod 3-dimensiwn, pennir pob pwynt gan dri chyfesuryn.

Fe'i enwyd ar ôl y mathemategydd Groeg yr Henfyd, Euclid o Alexandria ac mae'r term "Euclidaidd" yn cynnwys gofod 2 a 3-dimensiwn o fewn geometreg Euclidaidd a dimensiynau uwch. Yng nghyfnod y Groegiaid, arferid diffinio'r plân Euclidaidd a'r plân 3-dimensiwn Euclidaidd gyda chynosodiadau (postulates) a'r nodweddion eraill fel theoremau. Defnyddid lluniadau geometrig hefyd i ddiffinio rhifau cymarebol fel cymarebau cyfesur.

Y strwythur EuclidaiddGolygu

Y pellter rhwng pwyntiau a'r onglau rhwng llinellau neu fectorau yw'r system hon. Rhaid iddynt fodloni rhai amodau, sy'n peri i'r set o bwyntiau fod yn ofod Euclidaidd. Y dull naturiol o gael y symiau hyn yw drwy gyflwyno (a defnyddio) y cyfanswm safonnol mewnol, a elwir hefyd yn "gyfanswm dot" ar $R n$ .^[1] Diffinir cyfanswm mewnol unrhyw ddau $n$ -fector real $x$ a $y$ gan

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n},

lle mae $x i$ a $y i$ yn $i$ ed cyfesuryn o'r fectorau $x$ a $y$ yn y drefn honno. Mae'r canlyniad bob tro yn rhif real.

PellterGolygu

Mae cyfanswm mewnol $x$ gyda'i hun bob amser yn rhif nad yw'n negatif. Mae'r cyfanswm hwn yn caniatau i ni ddiffinio "hyd" y fector $x$ drwy ail isradd:

\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}.

Mae'r ffwythiant-hyd hwn yn bodloni'r nodweddion sydd ei hangen ar y norm, ac fei'i gelwir yn "norm Euclidaidd" ar $R n$ .

Gellir defnyddio'r norm i ddiffinio metrig (neu ffwythiant-pellter) ar $R n$ drwy

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.

Gelwir y pellter (neu'r hyd) hwn yn "fetrig Euclidaidd".

OnglGolygu

Onglau positif a negatif ar y plân cyfeiriedig.

Mae'r ongl $θ$ ( $0° \leq θ \leq 180°$ ) rhwng y fectorau $x$ a $y$ fel a ganlyn:

\theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)

lle mae $arcos$ yn ffwythiant arcosin.

CyfeiriadauGolygu

↑ E.D. Solomentsev (7 Chwefror 2011). "Euclidean space". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Cyrchwyd 1 Ma1 2014. Check date values in: |accessdate= (help)

[mathen-1] E.D. Solomentsev (7 Chwefror 2011). "Euclidean space". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Cyrchwyd 1 Ma1 2014. Check date values in: |accessdate= (help)

[1]