Wicipedia

Geometreg

Y gangen o fathemateg sy'n ymwneud â siâp, maint a lleoliad rhifau, a nodweddion gofod yw geometreg (Groeg: γεωμετρία; geo- "daear", -metron "measuriad").

Geometreg
Enghraifft o'r canlynolmaes o fewn mathemateg Edit this on Wikidata
Rhan omathemateg Edit this on Wikidata
Tudalen Comin Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Tarddodd geometreg mewn sawl lle gwahanol drwy'r byd, yn annibynnol i'w gilydd, mewn ymgais ymarferol i ateb problemau'n ymwneud â hyd, arwynebedd a chyfaint gyda pheth disgyblaeth gwyddonol, ffurfiol i'w gael erbyn oes Thales yn y 6g CC. Erbyn y 3g roedd Euclid wedi'u ffurfioli ymhellach a cheir ei enw o fewn isddosbarth a adnabyddir heddiw fel geometreg Euclidaidd; dyma'r safon am ganrifoedd wedi hynny.[1] Datblygodd Archimedes dechneg wych i gyfrifo arwynebedd a chyfaint yr hyn a enwir heddiw yn calcwlws cyfannol (neu integrol).[2] Am y pymtheg cant o flynyddoedd dilynol, defnyddiwyd llawer o'i waith i ateb problemau'n ymwneud â mapio lleoliad y sêr a'r planedau. Ystyriwyd, felly, geometreg a seryddiaeth (yn y byd clasurol) yn rhan o'r un gangen (y Quadrivium) o'r saith celfyddyd bwysicaf i berson rhydd.

René Descartes a gyflwynodd y cysyniad o gyfesurynnau i'r astudiaeth ac ar yr un pryd datblygwyd algebra; mae'r ddau hyn yn ffurfio un o gerrig milltir pwysicaf y ddisgyblaeth gan y gellid, bellach, gynrychioli ffurfiau geometrig gyda ffwythiannau a hafaliadau. Yn ei dro (yn y 17g), chwaraeodd hyn ran eithriadol o bwysig yn yr hyn a elwir yn geometreg anfeidraidd. Dangosodd geometreg perspectif, hefyd, fod llawer mwy i geometreg, fel disgyblaeth, na jyglo rhifau. Ac yn sgil hyn, datblygwyd geometreg gwrthrychau gan Euler a Gauss gan arwain at isddosbarthiadau eraill o fewn geometreg a elwir yn dopograffi a geometreg gwahaniaethol.

Gofod metrig

golygu

Mae geometreg yn un disgyblaeth oddi fewn i Ofod:

           
Geometreg Trigonometreg Geometreg gwahaniaethol Topoloeg Geometreg ffractalaidd Theori mesuredd

Hanes

golygu
 
Ewropead ac Arab yn gweithio ar broblemau geometraidd yn y 15g

Gellir olrhain dechreuad cynharaf a gofnodwyd o geometreg i Mesopotamia hynafol a'r Aifft yn yr 2il fileniwm CC.[3][4] Roedd geometreg gynnar yn gasgliad o egwyddorion a ddarganfuwyd yn empirig yn ymwneud â hyd, onglau, arwynebedd a chyfaint, a ddatblygwyd i ddiwallu rhywfaint o angen ymarferol wrth arolygu tir, adeiladu, seryddiaeth, ac amrywiol grefftau. Y testunau geometreg cynharaf y gwyddys amdanynt yw'r Papyrus Rhind o'r Aifft (2000-1800 CC) a Papyrus Moscow (tua 1890 CC), a'r tabledi clai Babilonaidd, megis Plimpton 322 (1900 CC). Er enghraifft, mae Papyrus Moscow yn rhoi fformiwla ar gyfer cyfrifo cyfaint pyramid cwtog, neu'r 'rhwystwm'.[5] Mae tabledi clai diweddarach (350-50 CC) yn dangos bod seryddwyr Babilonaidd wedi gweithredu gweithdrefnau trapesiwm ar gyfer cyfrifo safle a symudiad Iau o fewn gofod cyflymder-amser. Roedd y gweithdrefnau geometrig hyn yn rhagweld Cyfrifianellau Rhydychen, gan gynnwys y theorem cyflymder cymedrig, y 14g.[6] I'r de o'r Aifft sefydlodd y Nubiaid hynafol system geometreg gan gynnwys fersiynau cynnar o glociau haul.[7][8]

Yn y 7g CC, defnyddiodd y mathemategydd Groegaidd Thales of Miletus geometreg i ddatrys problemau fel cyfrifo uchder pyramidiau a phellter llongau o'r lan. Dyma'r defnydd cyntaf o resymu diddwythol (deductive reasoning) a gymhwysir i geometreg, trwy ddeillio pedwar corollaries i theorem Thales.[9] Sefydlodd Pythagoras yr Ysgol Pythagoraidd o feddwl, sy'n cael y clod am y prawf cyntaf o theorem Pythagoras,[10] er bod datganiad y theorem wedi'i wyntyllu llawer iawn cyn ei oes ef.[11][12] Datblygodd Eudoxus (408 - c. 355 CC) y dull parhaus (method of exhaustion), a oedd yn caniatáu cyfrifo arwynebedd a chyfeintiau ffigurau cromliniol,[13] yn ogystal â theori cymarebau a oedd yn osgoi problem meintiau anghymarebol, a alluogodd geometregwyr dilynol i wneud datblygiadau sylweddol yn y maes hwn.

Tua 300 CC, chwyldroadwyd geometreg gan Euclid, ac ystyrir ei Elfennau, yn eang fel y llyfr testun mwyaf llwyddiannus a dylanwadol erioed;[13] yn y gyfrol, cyflwynir trylwyredd mathemategol trwy ddefnyddio'r dull gwirebol a dyma'r enghraifft gynharaf o'r fformat hwn, sy'n dal i gael ei defnyddio mewn mathemateg heddiw. Hynny yw: diffiniad, gwireb, theorem, a phrawf. Er bod y rhan fwyaf o gynnwys yr Elfennau eisoes yn hysbys, trefnodd Euclid nhw yn un fframwaith rhesymegol cydlynol.[14] Roedd yr Elfennau yn hysbys i bawb addysgedig yn y Gorllewin tan ganol yr 20g ac mae ei chynnwys yn dal i gael ei ddysgu mewn dosbarthiadau geometreg heddiw.[15] Defnyddiodd Archimedes (c.  287–212 CC) o Syracuse y dull parhaus i gyfrifo'r arwynebedd o dan fwa parabola â chrynhoad y gyfres anfeidrol, a brasamcanodd pi yn hynod o gywir.[16] Astudiodd hefyd y Sbiral Archimedes sy'n dwyn ei enw, a llwyddodd i gael fformiwlâu ar gyfer cyfeintiau arwynebau tro.

Cyfrannodd y mathemategwyr Indiaidd yn helaeth mewn geometreg hefyd. Mae'r Satapatha Brahmana (3g CC) yn cynnwys rheolau ar gyfer cystrawennau geometrig defodol sy'n debyg i'r Sulba Sutras.[17] Yn ôl (Hayashi 2005) mae'r Śulba Sūtras yn cynnwys "yr ymadrodd llafar cynharaf sy'n bodoli o'r Theorem Pythagorean yn y byd, er ei fod eisoes yn hysbys i'r Hen Fabiloniaid. Maent yn cynnwys rhestrau o driawdau Pythagoraidd,[18] sy'n achosion penodol o hafaliadau Diophantine.[19] Yn llawysgrif Bakhshali, mae llond llaw o broblemau geometrig (gan gynnwys problemau ynghylch cyfeintiau solidau afreolaidd). Mae llawysgrif Bakhshali hefyd yn "gweithredu system gwerth lle degol gyda dot ar gyfer sero."[20] Mae Aryabhatiya Aryabhata (499) yn cynnwys cyfrifiant o arwynebedd a chyfeintiau.

 
Diagram o theorem Desargues, canlyniad hanfodol mewn geometreg Euclidaidd a geometreg tafluniol.

Ysgrifennodd Brahmagupta ei waith seryddol Brāhma Sphuṭa Siddhānta yn 628. Rhannwyd Pennod 12, yn cynnwys 66 o benillion Sansgrit, yn ddwy adran: "gweithrediadau sylfaenol", gan gynnwys y trydydd isradd, ffracsiynau, cymhareb a chyfran, a chyfnewid (barter) a "mathemateg ymarferol" (gan gynnwys cymysgedd, cyfresi mathemategol, ffigurau plân, pentyrru briciau, llifio pren, a phentyrru grawn).[21] Yn yr adran olaf, nododd ei theorem enwog ar groeslinau pedrochrog cylchol. Roedd Pennod 12 hefyd yn cynnwys fformiwla ar gyfer arwynebedd pedrochrog cylchol, ynghyd â disgrifiad cyflawn o drionglau cymarebol (hy trionglau ag ochrau cymarebol ac arwynebedd cymarebol).[21]

Yn Islam ganoloesol yr Oesoedd Canol, cyfrannodd mathemategwyr at ddatblygiad geometreg, yn enwedig geometreg algebraidd.[22][23] Esgorodd Al-Mahani (ganwyd 853) ar y syniad o leihau problemau geometregol o fewn algebra. Gweithiodd Thābit ibn Qurra (a elwir yn Thebit yn Lladin; 836-901) â gweithrediadau rhifyddeg a gymhwyswyd i gymarebau meintiau geometregol, a chyfrannodd at ddatblygiad geometreg ddadansoddol. Daeth Omar Khayyám (1048–1131) o hyd i atebion geometrig i hafaliadau ciwbig. Roedd theoremau Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam a Nasir al-Din al-Tusi ar bedrochrau, gan gynnwys pedrochrog Lambert a phedrochrog Saccheri, yn ganlyniadau cynnar mewn geometreg hyperbolig, ac ynghyd â'u cynosodiadau amgen, fel gwireb Playfair, cafodd y gweithiau hyn gryn ddylanwad ar ddatblygiad geometreg nad yw'n Ewclidaidd ymhlith geometrau Ewropeaidd diweddarach, gan gynnwys Witelo (c. 1230 - c. 1314), Gersonides (1288–1344), Alfonso, John Wallis, a Giovanni Girolamo Saccheri.

Yn gynnar yn yr 17g, cafwyd dau ddatblygiad pwysig mewn geometreg. Y cyntaf oedd creu geometreg ddadansoddol, neu geometreg gyda chyfesurynnau a hafaliadau, gan René Descartes (1596–1650) a Pierre de Fermat (1601–1665).[24] Roedd hyn yn rhagflaenydd angenrheidiol i ddatblygiad calcwlws a gwyddoniaeth feintiol ffiseg.[25] Yr ail ddatblygiad pwysig oedd yr astudiaeth systematig o Geometreg dafluniol gan Girard Desargues (1591–1661).[26] Dyma astudiaeth o briodweddau siapiau sy'n ddigyfnewid gan dafluniadau a thoriadau, yn enwedig gan eu bod yn ymwneud â phersbectif artistig.[27]

Cafwyd dau ddatblygiad mewn geometreg yn y 19g hefyd:[28] y cyntaf oedd darganfod geometregau an-Ewclidaidd, gan Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai a Carl Friedrich Gauss ac o lunio cymesuredd fel yr ystyriaeth ganolog yn Rhaglen Erlangen Felix Klein (a oedd yn cyffredinoli'r geometregau Ewclidaidd ac an-Ewclidaidd). Dau o brif geometregwyr oes oedd Bernhard Riemann (1826-1866), gan weithio'n bennaf gydag offer o ddadansoddiad mathemategol, a chyflwyno wyneb Riemann, a Henri Poincaré, sylfaenydd topoleg algebraidd a theori geometrig systemau deinamig. O ganlyniad i'r newidiadau mawr hyn yng nghysyniad geometreg, daeth y cysyniad o "ofod" yn rhywbeth cyfoethog ac amrywiol, a'r cefndir naturiol ar gyfer damcaniaethau mor wahanol â dadansoddi cymhlyg a mecaneg glasurol.[29]

Cysyniadau pwysig mewn geometreg

golygu

Mae'r canlynol yn rhai o'r cysyniadau pwysicaf mewn geometreg.[30][31][32]

Gwirebau

golygu
 
Darlun o gynosodiad cyflin Euclid

Cymerodd Euclid agwedd haniaethol at geometreg yn ei Elfennau,[33] un o'r llyfrau mwyaf dylanwadol a ysgrifennwyd erioed.[34] Cyflwynodd rai wirebau, neu cynosodiadau, gan fynegi priodweddau sylfaenol, hunan-amlwg pwyntiau, llinellau a planau.[35] Aeth ymlaen i dynnu priodweddau eraill yn drwyadl trwy resymu mathemategol. Un o nodweddion Euclid tuag at geometreg oedd ei drylwyredd, ac fe’i gelwir yn geometreg gwirebol neu synthetig.[36] Ar ddechrau'r 19g, arweiniodd darganfyddiad o geometregau an-Ewclidaidd gan Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ac eraill [37] o ddiddordeb yn y ddisgyblaeth hon, ac yn yr 20g, defnyddiodd David Hilbert (1862–1943) ymresymu gwirebol mewn ymgais i ddarparu sylfaen fodern i geometreg.[38]

Pwyntiau

golygu

Yn gyffredinol, ystyrir pwyntiau yn wrthrychau sylfaenol ar gyfer adeiladu geometreg. Gellir eu diffinio gan y priodweddau sydd ganddynt, fel yn niffiniad Euclid fel "yr hyn nad oes ganddo ran",[39] neu mewn geometreg synthetig. Mewn mathemateg fodern, fe'u diffinnir yn gyffredinol fel elfennau o set o'r enw gofod, sydd ei hun wedi'i ddiffinio'n wirebol.

Gyda'r diffiniadau modern hyn, diffinnir pob siâp geometrig fel set o bwyntiau; nid yw hyn yn wir mewn geometreg synthetig, lle mae llinell yn wrthrych sylfaenol arall nad yw'n cael ei ystyried fel set y pwyntiau y mae'n mynd drwyddynt.

Llinellau

golygu

Mewn mathemateg fodern, o ystyried y llu o geometregau, mae'r cysyniad o linell wedi'i glymu'n agos â'r ffordd y disgrifir y geometreg. Er enghraifft, mewn geometreg ddadansoddol, diffinnir llinell yn y plân yn aml fel y set o bwyntiau y mae eu cyfesurynnau'n bodloni hafaliad llinol penodol,[40] ond mewn lleoliad mwy haniaethol, fel geometreg mynychder, gall llinell fod yn wrthrych annibynnol, ar wahân i'r set o bwyntiau sydd arno.[41] Mewn geometreg wahaniaethol, mae geodesig yn cyffredinoli'r syniad o linell i fannau crwm.[42]

Planau

golygu

Mae'r plân yn arwyneb fflat, dau ddimensiwn sy'n ymestyn yr anfeidraidd ymhell. Plân yw'r analog dau ddimensiwn o bwynt (heb ddimensiwn), llinell (un dimensiwn) a lle (neu 'ofod') tri dimensiwn. Gall planau fodoli fel is-blanau (subspaces) hefyd, is-blanau o ryw ddimensiwn uwch, fel ystafell o fewn tŷ gada'i waliau'n cael eu hymestyn am byth, y tu allan i'r dyluniad. Dyma a wneir mewn geometreg Ewclidaidd.

Wrth weithio'n gyfan gwbl mewn gofod Ewclidaidd dau ddimensiwn, defnyddir y fannod (y plân), felly mae'r plân yn cyfeirio at y gofod cyfan. Mae llawer o dasgau sylfaenol mewn mathemateg, geometreg, trigonometreg, theori graff, a graffio yn cael eu gwneud mewn lle dau ddimensiwn, neu, mewn geiriau eraill, yn y plân.[43]

Onglau

golygu

Y ffigur a ffurfir gan ddwy linell sy'n cwrdd ar fertig (cornel) yw ongl.[44] Mae'r ongl hefyd yn fesuriad o gylchdroad, y gymhareb o hyd arc i'w radiws. Mesurir onglau yn aml mewn graddau (°), ond y radian yw'r uned safonol. Ceir 360° mewn un troad cylch, a 2π radian mewn un troad cylch.[45] Gellir mesur onglau gydag onglydd. Defnyddir y llythyren Roeg theta (θ) fel symbol mathemategol am ongl.[39]

 
Onglau lem (a), aflem (b), a syth (c). Gelwir yr onglau lem ac aflem hefyd yn 'onglau arosgo'.

Mewn geometreg Ewclidaidd, defnyddir onglau i astudio polygonau a thrionglau, yn ogystal â ffurfio gwrthrych a asudir ar wahân.[39] Mae astudio onglau triongl neu onglau mewn cylch yn sail i drigonometreg.[46]

Cromliniau

golygu

Mae cromlin yn wrthrych 1 dimensiwn a all fod yn syth (fel llinell) ai peidio; gelwir cromliniau mewn gofod dau ddimensiwn yn gromliniau plân a gelwir y rhai mewn gofod 3 dimensiwn yn gromliniau gofod.[47]

Arwynebau

golygu
 
Mae sffêr yn arwyneb y gellir ei ddiffinio'n baramedrig (gan x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ) neu gan x2 + y2 + z2 − r2 = 0.

Mae arwyneb yn wrthrych dau ddimensiwn, fel sffêr neu baraboloid.[48] Mewn geometreg wahaniaethol [49] a thopoleg,[50] gan 'glytiau' (patches) dau ddimensiwn (neu gymdogaethau) sy'n cael eu cydosod gan differomorffiaethau neu homeomorffadau, yn y drefn honno. Mewn geometreg algebraidd, disgrifir arwynebau gan hafaliadau polynomial.[51]

Felly, mewn geometreg solat, mae ochr (face) yn blân fflat, dau ddimensiwn, sy'n ffurfio rhan o ffin gwrthrych solat. Mae gan wrthrych solat tri dimensiwn sawl ochr, a gelwir y gwrthrych hwn yn bolyhedron e.e. mae'r ciwb yn bolyhedron ac mae ganddo 6 ochr. Mae gan bob ochr "arwyneb" (surface).[52][53]

Maniffoldiau

golygu

Mae maniffold yn cyffredinoli'r cysyniadau o gromlin ac arwyneb. Mewn topoleg, mae maniffold yn ofod topolegol lle mae gan bob pwynt gymdogaeth sy'n homeomorffedd i ofod Ewclidaidd.[50] Mewn geometreg wahaniaethol, mae maniffold gwahaniaethol yn ofod lle mae pob cymdogaeth yn wahanol i ofod Ewclidaidd.[49]

Defnyddir maniffoldiau yn helaeth mewn ffiseg, gan gynnwys mewn perthnasedd cyffredinol a theori llinyn.[54]

Hyd, arwynebedd, a chyfaint

golygu

Mae hyd, arwynebedd a chyfaint yn disgrifio maint neu faint gwrthrych mewn un dimensiwn, dau ddimensiwn, a thri dimensiwn.[55]

Mewn geometreg Ewclidaidd a geometreg ddadansoddol, yn aml gellir cyfrifo hyd segment llinell gan y theorem Pythagorean .[56]

Metrigau a mesurau

golygu
 
Gwiriad gweledol o Theorem Pythagoras ar gyfer y triongl (3, 4, 5) fel yn y Zhoubi Suanjing 500–200 BC. Mae'r Theorem Pythagoraidd yn ganlyniad i'r metrig Ewclidaidd.

Gellir cyffredinoli'r cysyniad o hyd neu bellter, gan arwain at y syniad o fetrigau. Er enghraifft, mae'r metrig Ewclidaidd yn mesur y pellter rhwng pwyntiau yn y plân geometraidd, tra bod y metrig hyperbolig yn mesur y pellter yn y plân hyperbolig. Mae enghreifftiau pwysig eraill o fetrigau yn cynnwys metrig Lorentz perthnasedd arbennig a metrigau lled-Riemannian perthnasedd cyffredinol.[57]

I gyfeiriad gwahanol, mae cysyniadau hyd, arwynebedd a chyfaint yn cael eu hymestyn gan theori mesur, sy'n astudio dulliau o neilltuo maint neu fesur i setiau, lle mae'r mesurau yn dilyn rheolau tebyg i rai arwynebedd a chyfaint glasurol.[58]

Cyfathiant a chyflunedd

golygu

Mae cyfathiant a chyflunedd yn gysyniadau sy'n disgrifio pan fydd gan ddau siâp nodweddion tebyg.[59] Mewn geometreg Ewclidaidd, defnyddir cyflunedd i ddisgrifio gwrthrychau sydd â'r un siâp, tra bod cyfathiant yn cael ei ddefnyddio i ddisgrifio gwrthrychau sydd yr un fath o ran maint a siâp.[60] Roedd Hilbert, yn ei waith ar greu sylfaen fwy trylwyr ar gyfer geometreg, yn trin cyfathiant fel term heb ei ddiffinio y mae ei briodweddau wedi'u diffinio gan wirebau.

Lluniadau cwmpawd a llinellau syth

golygu

Roedd mathemategwyr geometraidd, clasurol yn canolbwyntio ar adeiladu gwrthrychau geometrig a oedd wedi'u disgrifio mewn rhyw ffordd arall. Yn glasurol, yr unig offerynnau a ganiateir mewn cystrawennau geometrig yw'r cwmpawd a'r pren mesur. Hefyd, roedd yn rhaid i bob lluniad fod yn gyflawn mewn nifer gyfyngedig o gamau. Fodd bynnag, roedd rhai problemau'n anodd neu'n amhosibl eu datrys trwy'r dulliau hyn yn unig, a darganfuwyd lluniadau dyfeisgar gan ddefnyddio parabolas a chromliniau eraill, yn ogystal â dyfeisiau mecanyddol.

Dimensiwn

golygu
 
Pluen eira Koch, gyda dimensiwn ffractal = log4 / log3 a dimensiwn topolegol =1

Lle roedd y geometreg draddodiadol yn caniatáu dimensiynau 1 ( llinell), 2 (plân) a 3 (ein byd amgylchynol a genhedlwyd fel gofod tri dimensiwn), mae mathemategwyr a ffisegwyr wedi defnyddio dimensiynau uwch ers bron i ddwy ganrif.[61] Un enghraifft o ddefnydd mathemategol ar gyfer dimensiynau uwch yw gofod cyfluniad (configuration space) o system real, sydd â dimensiwn sy'n hafal i 'raddfeydd o ryddid' y system. Er enghraifft, gall pum cyfesuryn ddisgrifio cyfluniad sgriw.[62]

Mewn topoleg gyffredinol, mae'r cysyniad o ddimensiwn wedi'i ymestyn o rifau naturiol, i ddimensiwn anfeidrol ( e.e. gofodau Hilbert) a rhifau real, positif (mewn geometreg ffractal).[63] Mewn geometreg algebraidd, mae dimensiwn yr amrywyn algebraidd (dimension of an algebraic variety) wedi derbyn nifer o ddiffiniadau sy'n ymddangos yn wahanol, sydd i gyd yn gyfwerth yn yr achosion mwyaf cyffredin.[64]

Cymesuredd

golygu
 
Teilsio o'r plân hyperbolig

Mewn cymesuredd, mae gwrthrych yn sefydlog i drawsnewidiad, megis adlewyrchiad, ond hefyd mathau eraill o drawsnewdiad. Ceir sawl math elfennol o gymersuredd gan gynnwys cymersuredd drwy: raddfa, adlewyrchiad, cylchdro a chymesuredd ffwythiannol. Ceir mathau gwahanol o gymesuredd hefyd mewn cerddoriaeth, iaith, gwrthrychau haniaethol, modelu mathemategol theori a hyd yn oed gwybodaeth.[65] Gellir ei ganfod o fewn gwrthrychau pob dydd megis person, crisialau, cwilt ar wely, teils ar lawr, adeiladau, moleciwlau neu o fewn y byd natur ac o fewn gwrthrychau haniaethol megis fformiwlâu mathemategol. Mae thema cymesuredd mewn geometreg bron mor hen â gwyddoniaeth geometreg ei hun.[66] Roedd gan siapiau cymesur fel y cylch, polygonau rheolaidd a solidau platonig arwyddocâd dwfn i lawer o athronwyr hynafol[67] ac ymchwiliwyd iddynt yn fanwl cyn amser Euclid.[35] Mae patrymau cymesur yn digwydd o ran eu natur ac fe'u rendrwyd yn artistig mewn llu o ffurfiau, gan gynnwys graffeg Leonardo da Vinci, M. C. Escher, ac eraill.[68] Yn ail hanner y 19g, daeth y berthynas rhwng cymesuredd a geometreg o dan y chydd wydr. Cyhoeddodd rhaglen Erlangen Felix Klein fod cymesuredd, a fynegir trwy'r syniad o grŵp trawsnewid, mewn ystyr fanwl iawn, yn diffinio beth yw geometreg.[69]

Mae cymesureddau arwahanol a pharhaus yn chwarae rolau amlwg mewn geometreg, y cyntaf mewn topoleg a theori grŵp geometrig,[70][71] a'r ail mewn theori Lie a geometreg Riemannian.[72][73]

Cyfeiriadau

golygu
  1. ↑ Martin J. Turner,Jonathan M. Blackledge,Patrick R. Andrews (1998). "Fractal geometry in digital imaging". Academic Press. p.1. ISBN 0-12-703970-8
  2. ↑ Geiriadur yr Academi; Gwasg prifysgol Cymru, Caerdydd; cyhoeddwyd 1995; golygydd: Bruce Griffiths; tudalen C:193
  3. ↑ J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277–318.
  4. ↑ Neugebauer, Otto (1969) [1957]. "Chap. IV Egyptian Mathematics and Astronomy". The Exact Sciences in Antiquity (arg. 2). Dover Publications. tt. 71–96. ISBN 978-0-486-22332-2..
  5. ↑ (Boyer 1991)
  6. ↑ Ossendrijver, Mathieu (29 Ionawr 2016). "Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter's position from the area under a time-velocity graph". Science 351 (6272): 482–484. Bibcode 2016Sci...351..482O. doi:10.1126/science.aad8085. PMID 26823423.
  7. ↑ Depuydt, Leo (1 Ionawr 1998). "Gnomons at Meroë and Early Trigonometry". The Journal of Egyptian Archaeology 84: 171–180. doi:10.2307/3822211. JSTOR 3822211.
  8. ↑ Slayman, Andrew (27 Mai 1998). "Neolithic Skywatchers". Archaeology Magazine Archive. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 5 Mehefin 2011. Cyrchwyd 17 April 2011.
  9. ↑ (Boyer 1991)
  10. ↑ Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
  11. ↑ Kurt Von Fritz (1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics.
  12. ↑ James R. Choike (1980). "The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number". The Two-Year College Mathematics Journal.
  13. ↑ 13.0 13.1 (Boyer 1991)
  14. ↑ (Boyer 1991)
  15. ↑ Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p. 141: "No work, except The Bible, has been more widely used...."
  16. ↑ O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (February 1996). "A history of calculus". University of St Andrews. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 15 Gorffennaf 2007. Cyrchwyd 7 Awst 2007.
  17. ↑ Staal, Frits (1999). "Greek and Vedic Geometry". Journal of Indian Philosophy 27 (1–2): 105–127. doi:10.1023/A:1004364417713.
  18. ↑ Pythagorean triples are triples of integers   with the property:  . Thus,  ,  ,   etc.
  19. ↑ (Cooke 2005): "The arithmetic content of the Śulva Sūtras consists of rules for finding Pythagorean triples such as (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), and (12, 35, 37). It is not certain what practical use these arithmetic rules had. The best conjecture is that they were part of religious ritual. A Hindu home was required to have three fires burning at three different altars. The three altars were to be of different shapes, but all three were to have the same area. These conditions led to certain "Diophantine" problems, a particular case of which is the generation of Pythagorean triples, so as to make one square integer equal to the sum of two others."
  20. ↑ (Hayashi 2005)
  21. ↑ 21.0 21.1 (Hayashi 2003)
  22. ↑ R. Rashed (1994), The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra, p. 35 London
  23. ↑ (Boyer 1991) "Omar Khayyam (c. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the 16th century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). .. For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."".
  24. ↑ Carl B. Boyer (2012). History of Analytic Geometry. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15451-0.
  25. ↑ C.H. Edwards Jr. (2012). The Historical Development of the Calculus. Springer Science & Business Media. t. 95. ISBN 978-1-4612-6230-5.
  26. ↑ Judith V. Field; Jeremy Gray (2012). The Geometrical Work of Girard Desargues. Springer Science & Business Media. t. 43. ISBN 978-1-4613-8692-6.
  27. ↑ C. R. Wylie (2011). Introduction to Projective Geometry. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-14170-1.
  28. ↑ Jeremy Gray (2011). Worlds Out of Nothing: A Course in the History of Geometry in the 19th Century. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-85729-060-1.
  29. ↑ Eduardo Bayro-Corrochano (2018). Geometric Algebra Applications Vol. I: Computer Vision, Graphics and Neurocomputing. Springer. t. 4. ISBN 978-3-319-74830-6.
  30. ↑ Tabak, John (2014). Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing. t. xiv. ISBN 978-0-8160-4953-0.
  31. ↑ Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "A coherent curriculum". American Educator, 26(2), 1–18.
  32. ↑ Morris Kline (1990). Mathematical Thought From Ancient to Modern Times: Volume 3. US: Oxford University Press. tt. 1010–. ISBN 978-0-19-506137-6.
  33. ↑ Victor J. Katz (2000). Using History to Teach Mathematics: An International Perspective. Cambridge University Press. tt. 45–. ISBN 978-0-88385-163-0.
  34. ↑ David Berlinski (2014). The King of Infinite Space: Euclid and His Elements. Basic Books. ISBN 978-0-465-03863-3.
  35. ↑ 35.0 35.1 Robin Hartshorne (2013). Geometry: Euclid and Beyond. Springer Science & Business Media. tt. 29–. ISBN 978-0-387-22676-7.
  36. ↑ Pat Herbst; Taro Fujita; Stefan Halverscheid; Michael Weiss (2017). The Learning and Teaching of Geometry in Secondary Schools: A Modeling Perspective. Taylor & Francis. tt. 20–. ISBN 978-1-351-97353-3.
  37. ↑ I.M. Yaglom (2012). A Simple Non-Euclidean Geometry and Its Physical Basis: An Elementary Account of Galilean Geometry and the Galilean Principle of Relativity. Springer Science & Business Media. tt. 6–. ISBN 978-1-4612-6135-3.
  38. ↑ Audun Holme (2010). Geometry: Our Cultural Heritage. Springer Science & Business Media. tt. 254–. ISBN 978-3-642-14441-7.
  39. ↑ 39.0 39.1 39.2 Euclid's Elements – All thirteen books in one volume, Based on Heath's translation, Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7ISBN 1-888009-18-7.
  40. ↑ John Casey (1885). Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections.
  41. ↑ Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations, Elsevier B.V.
  42. ↑ "geodesic – definition of geodesic in English from the Oxford dictionary". OxfordDictionaries.com. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 15 Gorffennaf 2016. Cyrchwyd 2016-01-20.
  43. ↑ Ahlfors, Lars V. Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. New York; London (1953).
  44. ↑ Sidorov, L.A. (2001), "Angle", yn Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  45. ↑ (Saesneg) Joyce, David E. (2006). Angle measurement. Prifysgol Clark. Adalwyd ar 31 Hydref 2012.
  46. ↑ Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič, and Mark Saul. "Trigonometry." Trigonometry. Birkhäuser Boston, 2001. 1–20.
  47. ↑ Baker, Henry Frederick. Principles of geometry. Vol. 2. CUP Archive, 1954.
  48. ↑ Briggs, William L., and Lyle Cochran Calculus. "Early Transcendentals." ISBN 978-0-321-57056-7.
  49. ↑ 49.0 49.1 Do Carmo, Manfredo Perdigao, and Manfredo Perdigao Do Carmo. Differential geometry of curves and surfaces. Vol. 2. Englewood Cliffs: Prentice-hall, 1976.
  50. ↑ 50.0 50.1 Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
  51. ↑ Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes Includes the Michigan Lectures on Curves and Their Jacobians (arg. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-63293-1. Zbl 0945.14001.
  52. ↑ geiriadur.bangor.ac.uk; Y Termiadur Addysg - Celf a Dylunio, Cemeg a Bioleg, Ffiseg a Mathemateg; adalwyd 8 Tachwedd 2018.
  53. ↑ Merriam-Webster's Collegiate Dictionary (arg. Eleventh). Springfield, MA: Merriam-Webster. 2004.
  54. ↑ Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2.
  55. ↑ Steven A. Treese (2018). History and Measurement of the Base and Derived Units. Springer International Publishing. tt. 101–. ISBN 978-3-319-77577-7.
  56. ↑ James W. Cannon (2017). Geometry of Lengths, Areas, and Volumes. American Mathematical Soc. t. 11. ISBN 978-1-4704-3714-5.
  57. ↑ Wald, Robert M. (1984). General Relativity. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.
  58. ↑ Terence Tao (2011). An Introduction to Measure Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-6919-2.
  59. ↑ Shlomo Libeskind (2008). Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry. Jones & Bartlett Learning. t. 255. ISBN 978-0-7637-4366-6.
  60. ↑ Mark A. Freitag (2013). Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach. Cengage Learning. t. 614. ISBN 978-0-618-61008-2.
  61. ↑ Mark Blacklock (2018). The Emergence of the Fourth Dimension: Higher Spatial Thinking in the Fin de Siècle. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-875548-7.
  62. ↑ Charles Jasper Joly (1895). Papers. The Academy. tt. 62–.
  63. ↑ Roger Temam (2013). Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer Science & Business Media. t. 367. ISBN 978-1-4612-0645-3.
  64. ↑ Bill Jacob; Tsit-Yuen Lam (1994). Recent Advances in Real Algebraic Geometry and Quadratic Forms: Proceedings of the RAGSQUAD Year, Berkeley, 1990–1991. American Mathematical Soc. t. 111. ISBN 978-0-8218-5154-8.
  65. ↑ Mainzer, Klaus (2005). Symmetry And Complexity: The Spirit and Beauty of Nonlinear Science. World Scientific. ISBN 981-256-192-7.
  66. ↑ Ian Stewart (2008). Why Beauty Is Truth: A History of Symmetry. Basic Books. t. 14. ISBN 978-0-465-08237-7.
  67. ↑ Stakhov Alexey (2009). Mathematics Of Harmony: From Euclid To Contemporary Mathematics And Computer Science. World Scientific. t. 144. ISBN 978-981-4472-57-9.
  68. ↑ Werner Hahn (1998). Symmetry as a Developmental Principle in Nature and Art. World Scientific. ISBN 978-981-02-2363-2.
  69. ↑ Brian J. Cantwell (2002). Introduction to Symmetry Analysis. Cambridge University Press. t. 34. ISBN 978-1-139-43171-2.
  70. ↑ Michio Kaku (2012). Strings, Conformal Fields, and Topology: An Introduction. Springer Science & Business Media. t. 151. ISBN 978-1-4684-0397-8.
  71. ↑ Mladen Bestvina; Michah Sageev; Karen Vogtmann (2014). Geometric Group Theory. American Mathematical Soc. t. 132. ISBN 978-1-4704-1227-2.
  72. ↑ W-H. Steeb (1996). Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-310-503-4.
  73. ↑ Charles W. Misner (2005). Directions in General Relativity: Volume 1: Proceedings of the 1993 International Symposium, Maryland: Papers in Honor of Charles Misner. Cambridge University Press. t. 272. ISBN 978-0-521-02139-5.
Wedi dod o "https://cy.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometreg&oldid=12851845"