Croeslin

Mewn geometreg, mae croeslin (llu. 'croesliniau') yn segment llinell sy'n uno dwy fertig polygon neu bolyhedron, pan nad yw'r fertigau hynny ar yr un ymyl. Yn anffurfiol, gelwir unrhyw linell ymylol (e.e. lletraws) yn groeslin. Defnyddiwyd y term am y tro cyntaf yn Termau Mathemateg yn 1957. Ystyr y gair Groeg diagonios (διαγώνιος, sef διά + διά + γωνία) yw "ar draws yr onglau" ac fe'i defnyddiwyd gan Strabo ac Euclid.Benthyciawyd y gair gan y Lladin, yn ddiweddarach: diagonus.

Set deledu, gyda llinell werdd yn dangos y croeslin.

Mae ochrau'r ciwb hwn yn 1 uned.
Ceir yma ddau groeslin wahanol:
* Dangosir AC', croeslin ofodol, (mewn glas) gyda hyd o ${\sqrt {3}}$.
* Mae'r ail groeslin AC (mewn coch) ar wyneb y ciwb ac yn mesur ${\sqrt {2}}$..

Mewn algebra matricsau, mae croeslin matrics sgwâr yn set sy'n ymestyn o un gornel i'r gornel gyferbyn.

Ceir defnyddiau eraill mewn bywyd pob dydd, nad ydynt yn fathemategol.

Polygonau

Mewn polygonau mae croeslin yn llinell segment sy'n uno dwy fertig (vertices) nad ydynt yn olynol. Felly, mae gan bedrochr ddwy groeslin, sy'n uno pâr o fertigau gyferbyn. Ar gyfer unrhyw bolygon amgrwn, mae'r holl groesliniau o fewn y polygon, ond ar gyfer polygonau adfewnol, mae rhai croeslinau y tu allan i'r polygon.

Mae gan unrhyw bolygon n ≥ 3, boed amgrwn neu geugrwm, ${\tfrac {n(n-3)}{2}}$ o groesliniau, gan fod gan pob fertig groesliniau i'r holl fertigau eraill, heblaw ei hun a'r ddwy fertig gyfagos, neu n − 3 croeslin, ac mae pob croeslin yn cael ei rhannu gan ddwy fertig.

Ochrau Croesliniau 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 8 20 9 27 10 35

Ochrau Croesliniau 11 44 12 54 13 65 14 77 15 90 16 104 17 119 18 135

Ochrau Croesliniau 19 152 20 170 21 189 22 209 23 230 24 252 25 275 26 299

Ochrau Croesliniau 27 324 28 350 29 377 30 405 31 434 32 464 33 495 34 527

Rhanbarthau a ffurfir gan groesliniau

Mewn polygon amgrwm, os nad yw tri croeslin yn gytgroes (concurrent) ar unrhyw un pwynt o'i mewn, yna mae nifer y rhanbarthau mewnol mae'r croesliniau'n eu rhannu yn cael ei ddynodi gan:

${\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.$

Ar gyfer polygonau (gyda'i hochrau yn n, ac n=3, 4, ...) mae nifer y rhanbarthau yn:

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...

Gelwir y gyfres hon yn yr On-Line Encyclopedia of Integer Sequences yn "gyfres A006522".

Croestoriad croesliniau

Os nad oes tri croeslin o bolygon amgrwm yn gydamserol ar bwynt yn y tu mewn i'r polygon, yna rhoddir nifer y croestorfannau mewnol fel ${\binom {n}{4}}$.

Mae hyn yn wir, er enghraifft, ar gyfer unrhyw bolygon rheolaidd â nifer odrif o ochrau. Mae'r fformiwla yn dilyn o'r ffaith bod pob croestoriad yn cael ei bennu'n unigryw gan bedwar diweddbwynt y ddau groeslin sy'n croesdori: nifer y croestoriadau, felly, yw nifer y cyfuniadau o'r fertigau n, pedwar ar y tro.

Polygonau rheolaidd

Nid oes gan driongl groesliniau.

Mae gan sgwâr ddau groeslin, ac mae'r ddwy groeslin yn gymesur. Mae'r ddwy groeslin yn croesi ei gilydd ar bwynt a elwir yn 'croestorfan' (neu 'pwynt croestoriad') a hynny hyng nghanol y sgwâr. Y gymhareb rhwng y croeslin a'r ochr yw ${\sqrt {2}}\approx 1.414.$

Mae gan y pentagon rheolaidd bump ochr ac mae pob un yr un hyd. Y gymhareb rhwng y croeslin a'r ochr yw'r hyn a elwir yn Gymhareb Aur, sef: ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.$

Mae gan yr hecsagon rheolaidd naw croeslin: chwech byr a thair hir. Mae pob croeslin hir ddwywaith hyd yr ochr ac yn croestori ei gilydd yng nghanol yr hecasgon. Y gymhareb rhwng y croeslin hir a'r ochr, felly, yw 1 i 2.

Ym mhob polygon rheolaidd, mae'r croesliniau'n croestori'r polygon reit yn ei ganol.