Deilliant

Mae deilliant ffwythiant newidyn real yn fesur o sensitifrwydd o newid gwerth y ffwythiant (gwerth yr allbwn) mewn perthynas â newid yn ei ymresymiad (gwerth y mewnbwn). Mae'n weithred defnyddiol o fewn calcwlws.

Graff o ffwythiant (mewn du) a llinell ar dangiad i'r ffwythiant hwnnw (mewn coch). Mae goledd y linell dangiad yn hafal i ddeilliant y ffwythiant, ar y pwynt a nodir gyda dotyn coch.

Er enghraifft, 'deilliant' safle cerbyd neu wrthrych arall sy'n symud, o ran amser, yw cyflymder y cerbyd: mae hyn yn fesur o ba mor gyflym mae safle'r gwrthrych yn newid wrth i amser dreulio.

Yn y diagram ar y dde, y linell dangiad yw'r brasamcan gorau o'r ffwythiant ger gwerth y mewnbwn. Oherwydd hyn, disgrifir y deilliant yn aml fel "graddfa'r newid ar un amrantiad o amser".

Differiant

Prif: Differu

Mesuriad o sut mae ffwythiant mathemategol yn newid wrth i'r mewnbynnau newid yw differu - y weithred o gyfrifo'r deilliant.

Nid dim ond y sy'n ffwythiant o x, mae graddiant y gromlin y = f(x) yn ffwythiant o x hefyd gan nad ydyw'n gyson. Y differiad yw'r ffwythiant hwn. Ystyriwch ddau bwynt sy'n agos iawn at ei gilydd ar y gromlin: (x,y) ac (x + Δx, y + Δy). Po leiaf yw Δx yr agosaf y mae Δy/Δx at y graddiant ar y pwynt (x,y), a phan fo Δx yn agosáu at 0, mae Δy/Δx yn agosáu at derfyn sy'n hafal i raddiant y gromlin ar y pwynt (x,y). Y differiad yw'r terfyn (lim) hwn ac fel arfer fe ddefnyddir y nodiant dy/dx i'w symboleiddio:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(y+\Delta y)-y}{(x+\Delta x)-x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Nodiant

Nodiant Leibniz

Cyflwynwyd y symbolau $dx$, $dy$, a ${\frac {dy}{dx}}$ gan Gottfried Wilhelm Leibniz yn 1675. Mae'n dal i gael ei ddefnyddio pan fo'r hafaliad y = f(x) yn cael ei weld fel perthynas ffwythiannol rhwng newidynnau dibynnol ac annibynnol. Bryd hyn, dynodir y deilliant cyntaf fel

${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ neu }}{\frac {d}{dx}}f,$

Mae deilliannau uwch yn cael eu mynegi gan y nodiant

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f$

ar gyfer y'r nfed deilliant o $y=f(x)$.

Nodiant Lagrange

Erbyn heddiw, dyma'r nodiant mwyaf cyffredin. Fe'i cyflwynwyd gan Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813), mathemategydd Eidalaidd. Yma, dynodir deilliant y ffwythiant $f$ gan $f'$. Yn yr un modd, dynodir yr ail a'r trydydd eilliant

$(f')'=f''$   a   $(f'')'=f'''.$

I ddynodi rhagor o ddeilliannau wedi'r pwynt hwn, defnyddir rhifolion Rhufeinig mewn uwch-sgript, ond mae rhai mathemategwyr yn rhoi'r rhif rhwng cromfachau:

$f^{\mathrm {iv} }$   neu   $f^{(4)}.$

Nodiant Newton

Gelwir Nodiant Newton, weithiau'n 'Nodiant y Dotyn' (dot notation), gan y rhoddir dotyn bychan uwch ben enw'r ffwythiant, i gynrychioli deilliant amser. Os $y=f(t)$, yna mae

${\dot {y}}$   a   ${\ddot {y}}$

yn dynodi'r deilliannau cyntaf ac ail $y$.

Gweler hefyd

• Calcwlws differol