Calcwlws differol

O fewn mathemateg mae calcwlws differol yn un o is-feysydd calcwlws, ac yn astudiaeth o'r raddfa mae meintiau'n newid.

Calcwlws differol

Enghraifft o'r canlynol	maes o fewn mathemateg
Math	calcwlws
Y gwrthwyneb	Calcwlws integrol
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Graff o ffwythiant (mewn du) a llinell ar dangiad i'r ffwythiant hwnnw (mewn coch). Mae goledd y linell dangiad yn hafal i ddeilliant y ffwythiant, ar y pwynt a nodir gyda dotyn coch.

Dau raniad clasurol sydd i galcwlws: calcwlws differol yw'r naill a chalcwlws integrol, sef yr astudiaeth o'r ardal o dan cromlin, yw'r llall. Cysylltir y ddau raniad hyn gan theoremau ffwndamental calcwlws, sy'n mynnu mai differiad yw'r gwrthwyneb i'r integriad (integration).

Mesur o sut mae ffwythiant mathemategol yn newid wrth i'r mewnbynnau newid yw differu - y weithred o gyfrifo'r deilliant. Y prif wrthrychau, neu feysydd a astudir o fewn calcwlws differol yw deilliannau'r ffwythiant a syniadau perthnasol megis differynnau (differential) a sut maent yn cael eu cymhwyso ymhellach, ac o ddydd i ddydd.

Mae deillaint y ffwythiant, felly, o unrhyw werth a fewnbynir yn ddisgrifiad o raddfa newid y ffwythiant ger y fan honno (y gwerth mewnbwn). Gelwir y broses o ganfod y deilliant yn "ddifferiad" (differentiation).

O ran geometreg, y linell dangiad yw'r brasamcan gorau o'r ffwythiant ger gwerth y mewnbwn (gw. y diagram ar y dde, uchod). Oherwydd hyn, disgrifir y deilliant yn aml fel "graddfa'r newid ar un amrantiad o amser". O ran ffwythiant gwerth-real o newidyn real, deilliant y ffwythiant ar bwynt arbennig sydd fel arfer yn penderfynnu'r brasamcan gorau i'r ffwythiant ar y pwynt hwnnw.

Deilliant

Prif: Deilliant

Mae deilliant ffwythiant y newidyn real yn fesur o sensitifrwydd o newid gwerth y ffwythiant (gwerth allbwn) mewn perthynas â newid yn ei ymresymiad (gwerth mewnbwn). Mae'n weithred defnyddiol o fewn calcwlws.

Y linell dangiad ar (x,f(x))

Y deilliant ar wahanol bwyntiau (neu leoliad) o'r ffwythiant differol.

Dyweder fod x a y yn rhifau real a bod y yn ffwythiant o x, hynny yw, ar gyfer bob gwerth x, ceir gwerth cyfatebol y. Gellir sgwennu'r berthynas hon fel y = f(x). Os mai f(x) yw'r hafaliad am linell syth (h.y. hafaliad llinol), yna ceir dau rif real m a b fel bod y = mx + b. Yn y ffurf hwn (sef y "ffurf goledd-rhyngdorri" neu "slope-intercept form") mae'r term m yn cael ei alw'n "oledd" ac yn cael ei bennu gan y fformiwla:

$m={\frac {{\text{newid yn }}y}{{\text{newid yn }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},$

lle mae'r symbol Δ yn gyfystyr ac yn ffurf crynno o "newid yn". Mae'n dilyn, felly, bod Δy = m Δx.