Geometreg hyperbolig

Mewn mathemateg, mae geometreg hyperbolig (a elwir hefyd yn geometreg Bolyai–Lobachevskian neu geometreg Lobachevskian) yn geometreg di-Euclid. Disodlir cynosodiad paralel geometreg Euclidaidd gyda:

llinellau drwy bwynt P ac yn asymptotig i linell R

Am unrhyw linell R a phwynt P sydd ddim ar R, yn y plân sy'n cynnwys llinell yn y plân sy'n cynnwys y llinellau R a phwynt P ceir o leiaf dwy linell drwy P nad ydynt yn croestorri R.

(gellir cymharu hyn gyda "Gwireb Playfair", fersiwn modern o gynosodiad paralel - parallel postulate - Euclid)

Mae geometreg hyperbolig y plân hefyd yn geometreg plân siâp cyfrwy ceffyl neu arwynebau pseudosfferig. Mae'r defnydd modern ohono yn cynnwys Damcaniaeth perthnasedd arbennig, Einstein, yn enwedig gofod-amser Minkowski a gofod-gyrofector.

Triongl wedi'i drochi mewn plân siâp cyfrwy ceffyl, (paraboloid hyperbolig), a dwy linell ddargyfeiriol, paralel.

Pan sylweddolodd mathemategwyr yn gyntaf eu bod yn gweithio gyda rhywbeth heblaw'r geometreg Ewclidaidd safonol, disgrifiwyd eu geometreg gyda nifer o enwau gwahanol. Yn y diwedd, bathodd Felix Klein yr enw "geometreg hyperbolig" i'r pwnc i'w gynnwys o fewn maes dilyniant geometreg eliptig a ddefnyddir yn anaml y dyddiau hyn. Yn y cyn Undeb Sofietaidd, fe'i gelwir fel arfer yn "geometreg Lobachevskian", a enwyd ar ôl un o'i ddarganfyddwyr, y mathemategydd Rwsiaidd Nikolai Lobachevsky.

Gellir ymestyn geometreg hyperbolig i dri dimensiwn ac uwch-ddimensiwn.

Y cysylltiad gyda geometreg Euclidaidd

Mae geometreg hyperbolig yn perthyn yn agosach at geometreg Euclidaidd nag y mae'n ymddangos: yr unig wahaniaeth gwirebol yw'r ynosodiad paralel. Pan dynnir yr elfen hon allan o geometreg Euclidaidd, yna'r hyn sy'n weddill yw geometreg absoliwt. Ceir dau fath o geometreg absoliwt: Euclidaidd a hyperbolig. Mae damcaniaethau geometreg absoliwt yn gywir o fewn geometreg Euclidaidd a hyperbolig. Yn wir mae cynigion 27 a 28 yn Llyfr 1 Euclid yn profi bodolaeth llinellau pararel/di-baralel.

Mae gan y gwahaniaethau lawer o ganlyniadau: nid yw cysyniadau sy'n gyfwerth mewn geometreg Ewclidean yn gyfwerth mewn geometreg hyperbolig; mae angen cyflwyno cysyniadau newydd. Ar ben hynny, oherwydd yr ongl y paralel, mae gan geometreg hyperbolig raddfa absoliwt, sef y berthynas rhwng mesuriadau pellter ac ongl.