Gofod metrig

Ym mathemateg, mae gofod metrig yn set sydd â diffiniad o bellter rhwng ei elfennau. Y gofod metrig sy'n cyd-fynd yn agosaf a'n dealltwriaeth greddfol o ofod yw'r gofod Ewclidaidd 3-dimensiwn. Mae metrig ewclidaidd y gofod hwn yn diffinio'r pellter rhwng dau bwynt fel hyd y linell syth sy'n eu cysylltu. Mae geometreg gofod yn dibynnu ar ba metrig yr ydym yn ei dewis, ac trwy ddefnyddio gwahanol metrigau, gallwn adeiladu geometrigau an-Ewclidaidd, mae'r rhai a defnyddir yn theori cymaroldeb cyffredinol yn enghraifft

Mae gofod metrig yn anwytho priodweddau topologaidd megis setiau agored a setiau cauedig, sy'n arwain i astudiaeth o ofodau topolegol, sydd yn fwy cyffredinol.

Hanes

Cyflwynodd Maurice Fréchet gofodau metrig yn ei waith Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74.

Diffiniad

Mae gofod metrig yn bâr trefniedig (X,d), lle mae X yn set a d yn fetrig ar X, hynny yw, yn ffwythiant

d : X × X → R

sy'n bodlonni

1. d(x, y) ≥ 0     (an-negatif)
2. d(x, y) = 0   os, a dim ond os   x = y     (unfathiant annirnadwyon)
3. d(x, y) = d(y, x)     (cymesuredd)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (anhafeledd triongl).

Gelwir d hefyd yn ffwythiant pellter, neu'n gryno, yn bellter. Yn aml, mae natur d yn amlwg o'r cyd-destyn, fe ellir hepgorir d, gan galw y gofod yn X.

Enghreifftiau

• Mae'r rhifau real a'i ffwythiant pellter d(x, y) = |y - x| a roddir gan y ffwythiant modwlws, ac yn fwy cyffredinol Gofod Ewclidaidd a'i Pellter Ewclidaidd, yn ofodau metrig "complete".
• Y plân hyperbolig.

Gofodau Metrig fel Gofodau topologaidd

Mewn unrhyw ofod metrig M fe allem ddiffinio'r peli agored fel setiau o'r ffurf

B(x; r) = {y yn aelod o M fel bod d(x,y) < r},

lle mae x yn aelod o M ac r yn rhif real, positif, a gelwir yn radiws y bêl. Gelwir is-set o M sy'n uniad o beli agored (gall fod nifer feidrol neu anfeidrol ohonynt) yn set agored. Gelwir set sy'n gyflenwad o set agored yn set caëdig. Yn anorfod, mae gofod metrig yn ofod topologaidd, gan gymryd fel topoleg y set o'r setiau agored i gyd. Gelwir gofod topologaidd o'r fath, hynny yw, un y mae'n bosib diffinio metrig arno, yn ofod medradwy.

Gan fod ofodau metrig yn ofodau topologaidd, anwythir cysyniad o ffwythiannau di-dor rhwng ofodau metrig. Ond, yn ogystal, mae'n bosib diffinio'r cysyniad o ddi-doredd heb gyfeirio i'r topoleg, trwy ystyried terfannau dilyniannau.

Ffinedigaeth a chrynoder

Ffinedigaeth (boundedness) a chrynoder (compactness).

Cyswllt allanol

• "Far and near" — sawl enghraifft o ffwythiannau pellter.