Hafaliadau Cauchy–Riemann

Ym maes dadansoddi cymhlyg o fewn mathemateg, mae'r hafaliadau Cauchy-Riemann, a enwir ar ôl Augustin Cauchy a Bernhard Riemann, yn cynnwys system o ddau hafaliad differol rhannol sydd, ynghyd â meini prawf penodol ar gyfer di-doredd a differadwyedd, yn ffurfio amod angenrheidiol a digonol ar gyfer a ffwythiant cymhlyg i fod yn gymhlyg differadwy, hynny yw, yn holomorffig. Ymddangosodd y system hafaliadau yma'n gyntaf yng ngwaith Jean le Rond d'Alembert. Yn ddiweddarach, cysylltodd Leonhard Euler y system hon â'r ffwythiannau dadansoddol. Yna defnyddiodd Cauchy yr hafaliadau hyn i lunio ei theori ffwythiannau. Ymddangosodd traethawd hir Riemann ar theori ffwythiannau ym 1851.

Darlun gweledol o fector X mewn parth: * yn cael ei luosi â rhif cymhlyg z, yna ei fapio ag f, * yn cael ei fapio â f yna ei luosi â z wedi hynny. Os yw'r ddau o'r rhain yn cymryd y pwynt i'r un lle ar gyfer pob X a z, yna mae f yn bodloni'r amod Cauchy-Riemann.

Yr hafaliadau Cauchy-Riemann ar bâr o ffwythiannau gwerth-real dau newidyn real u(x, y) a v(x, y) yw'r ddau hafaliad:

${\begin{aligned}(1a)\qquad &{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\[6pt](1b)\qquad &{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\end{aligned}}$

Fel arfer cymerir u a v i fod y rhannau real a dychmygol yn y drefn honno o ffwythiant cymhlyg â gwerth newidyn cymhlyg sengl z = x + iy, f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y). Tybiwch fod u ac v yn nifferadwy-real ar bwynt mewn is-set agored o ℂ, y gellir ei ystyried yn ffwythiannau o ℝ² i ℝ. Mae hyn yn awgrymu bod deilliadau rhannol u ac v yn bodoli (er nad oes angen iddynt fod yn ddi-dor) a gallwn amcangyfrif amrywiadau bach o f yn llinol. Yna mae f = u + iv yn nifferadwy-cymhlyg ar y pwynt hwnnw os ac yn unig os yw deilliadau rhannol u a v yn bodloni'r hafaliadau Cauchy-Riemann (1a) ac (1b) ar y pwynt hwnnw. Nid yw fodolaeth deilliadau rhannol sy'n bodloni'r hafaliadau Cauchy-Riemann yn unig yn ddigon i sicrhau differadwyedd-cymhlyg ar y pwynt hwnnw. Mae'n angenrheidiol bod u ac v yn nifferadwy-real, sy'n gyflwr cryfach na bodolaeth y deilliadau rhannol, ond yn gyffredinol, yn wannach na differadwyedd di-dor.

Mae holomorffedd yn briodwedd ffwythiant cymhlyg gan ei fod yn ddifferadwy ym mhob pwynt o is-set agored gysylltiedig o ℂ (gelwir hyn yn barth yn ℂ). O ganlyniad, gallwn ddweud bod ffwythiant cymhlyg f, y mae ei rhannau real a dychmygol u ac v yn ffwythiannau differadwy real, yn holomorffig os a dim ond os yw hafaliadau (1a) ac (1b) wedi'u bodloni trwy gydol y parth. Mae ffwythiannau holomorffig yn ddadansoddol ac mae ffwythiannau dadansoddol yn holomorffig. Mae hyn yn golygu, mewn dadansoddiad cymhlyg, bod ffwythiant sy'n differadwy-cymhlyg dros barth cyfan (holomorffig) yr un peth â ffwythiant dadansoddol. Nid yw hyn yn wir am ffwythiannau real.

Enghraifft syml

Tybiwch fod $z=x+iy$. Mae'r ffwythiant gwerth cymhlyg$f(z)=z^{2}$ yn nifferadwy ar unrhyw bwynt z yn y plân cymhlyg.

$f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy$

Y rhannau real $u(x,y)$ a ddychmygol $v(x,y)$ yw

$u(x,y)=x^{2}-y^{2}$

$v(x,y)=2xy$

ac mae eu deilliadau rhannol yn

$u_{x}=2x;\quad u_{y}=-2y;\quad v_{x}=2y;\quad v_{y}=2x$

Gwelwn fod yr hafaliadau Cauchy-Riemann wedi bodloni, yn wir,$u_{x}=v_{y}$ a $u_{y}=-v_{x}$

Dehongliad

Mae'r hafaliadau yn un ffordd o edrych ar yr amod ar ffwythiant i fod yn nifferadwy yn yr ystyr ddadansoddiad cymhlyg: mewn geiriau eraill maent yn crynhoi'r syniad o ffwythiant gwerth cymhlyg trwy gyfrwng calcwlws differol confensiynol.

Tybiwch fod

$f(z)=u(z)+i\cdot v(z)$

yn ffwythiant o rif cymhlyg z. Yna diffinnir deilliad cymhlyg f ar bwynt z₀ gan

$\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})$

yn amodol bod y terfan hwn yn bodoli.

Os yw'r terfyn hwn yn bodoli, yna gellir ei gyfrifo trwy gymryd y terfan wrth i h → 0 ar hyd yr echelin real neu'r echelin ddychmygol; yn y naill achos neu'r llall, dylai roi'r un canlyniad. Wrth agosáu ar hyd yr echelin real, darganfyddwn fod

$\lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0}).$

Ar y llaw arall, wrth agosáu ar hyd yr echelin ddychmygol,

$\lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}).$

Hafaliad deilliad f a gymerir ar hyd y ddwy echelin yw

$i{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}),$

sef hafaliadau Cauchy-Riemann (2) ar y pwynt z₀.

I'r gwrthwyneb, os yw f : ℂ → ℂ yn ffwythiant y gellir ei differu wrth gael ei hystyried fel ffwythiant ar ℝ², yna mae f yn nifferadwy-cymhlyg os ac yn unig os yw'r hafaliadau Cauchy-Riemann wedi bodloni. Mewn geiriau eraill, os yw u ac v yn ffwythiannau differol real o ddau newidyn real, yn amlwg mae u + iv yn ffwythiant (gwerth cymhlyg) differadwy-real, ond mae u + iv yn nifferadwy-gymhlyg os ac yn unig os yw'r hafaliadau Cauchy-Riemann wedi'u bodloni.

Dolenni allanol

• Weisstein, Eric W. "Cauchy–Riemann Equations". MathWorld.
• Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews