Pŵer cysefin

Mewn mathemateg, pŵer cysefin yw pŵer cyfanrifau positif unrhyw rif cysefin. Er enghraifft, mae 7 = 7¹, 9 = 3² a 32 = 2⁵ yn bwerau cysefin, ond nid felly 36 = 62 = 22 × 32. Ni chaiff y rhif 1 ei ystyried yn bŵer cysefin.

Y pwerau cysefin yw:
2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, 256, ... (cyfres A246655 yn yr On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS))

Y pwerau cysefin, felly, yw'r cyfanrifau positif rheiny y gellir eu rhannu'n union gydag un rhif cysefin; caiff pwerau cysefin (a chysyniadau tebyg) weithiau eu galw'n "rhifau sylfaenol".

Nodweddion

Nodweddion algebraic

Pwerau cysefin yw pwer rhifau cysefin. Mae gan bob pŵer cysefin (ar wahân i 2) isradd cysefin (primitive root) Oherwydd hyn, mae grŵp lluosi y cyfanrifau modwlo pⁿ yn grŵp cylchol. Mae nifer yr elfennau yn y maes meidraidd bob amser yn bŵer cysefin; ac ar ochr arall y geiniog, mae pob pŵer cysefin yn digwydd fel nifer yr elfennau mewn maes meidraidd.

Nodweddion cyfuniadol

Prif: Cyfuniadeg

Un o'r nodweddion sy'n codi fwyaf amal o fewn maes theori rhif dadansoddol yw fod y set o bwerau cysefin nad ydynt yn gysefin yn set fechan, yn yr ystyr fod y nifer anfeidraidd o'u cilyddion yn cydgyfeirio. Er hyn, mae'r set o rifau cysefin yn un enfawr.

Nodweddion rhannu

Mae ffwythiant totient Euler (φ) a ffwythiannau sigma (σ₀) a (σ₁) unrhyw rif cysefin yn cael eu cyfrifo gan y fformiwlâu:

$\phi (p^{n})=p^{n-1}\phi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),$

$\sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,$

$\sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.$

Ar ffilm

Mae pwerau cysefin yn chwarae rôl reit flaenllaw yn y ffilm Cube, gan ddynodi peryglon enbyd o fewn strwythurau tebyg i labyrinth ar ffurf ciwb enfawr.