Dadansoddiad mathemategol

(Ailgyfeiriad oddi wrth Dadansoddi)

Dadansoddi mathemategol yw'r gangen o fathemateg sy'n dibynnu ar y cysyniadau o derfannau a damcaniaethau perthnasol, megis deilliant, yr integru, differu, mesur, y gyfres anfeidraidd, a ffwythiannau dadansoddol.

Yr atynnydd, yn codi o hafaliad differol. Mae'r hafaliad differol yn faes bwysig o fewn dadansoddi mathemategol, gyda llawer iawn o gymhwysiadau o fewn gwyddoniaeth a thechnoleg.

Yn aml, fe astudir y pynciau hyn yng nghyd-destyn rhifau real, rhifau cymhlyg, a'u ffwythiannau. Fodd bynnag, gellir hefyd eu diffinio yng nghyd-destyn unrhyw set o wrthrychau mathemategol sydd â diffiniad o agosatrwydd (gofod topologaidd) neu o bellter (gofod metrig). Man cychwyn yr astudiaeth o ddadansoddi yw datblygiad trwyadl o galcwlws.

IsbynciauGolygu

Fe rennir dadansoddi erbyn hyn i'r isbynciau canlynol:

Fel arfer ystyrir Dadansoddi clasurol yn unrhyw waith nad yw'n defnyddio dulliau dadansoddi ffwythiannol, ac fe'i gelwir weithiau yn ddadansoddi caled; mae'n cyfeirio hefyd, nid yn annisgwyl, o'r pynciau mwy traddodiadol. Fe rhannir astudiaeth hafaliadau differol â meusydd eraill megis systemau dynamig, ond mae'r gogyffwrdd â dadansoddi 'unionsyth' yn un fawr.

HanesGolygu

 
Defnyddiodd Archimedes y dull dihysbydd i gyfrifo'r ardal y tu mewn i gylch trwy ddod o hyd i arwynebedd polygonau rheolaidd gyda mwy a mwy o ochrau. Roedd hon yn enghraifft gynnar ond anffurfiol o derfan, un o'r cysyniadau mwyaf sylfaenol mewn dadansoddiad mathemategol.

HynafolGolygu

Datblygodd dadansoddiad mathemategol yn ffurfiol yn yr 17g yn ystod y Chwyldro Gwyddonol,[1] ond gellir olrhain llawer o'i syniadau yn ôl i fathemategwyr cynharach. Roedd canlyniadau cynnar y dadansoddiad yn ymhlyg yn nyddiau cynnar mathemategwyr Groeg hynafol. Er enghraifft, mae swm geometrig anfeidrol ymhlyg ym mharadocs Zeno o Elea o'r ddeuoliaeth. Yn ddiweddarach, defnyddiodd Eudoxus ac Archimedes y cysyniad o derfanau a chydgyfeiriant drwy'r dull dihysbydd (<i>exhaustion</i>) i gyfrifo arwynebedd a chyfaint ardaloedd a solidau. Mae'r defnydd penodol o anfeidrolion (infinitesimals) yn ymddangos yn Null Mecanyddol Theoremau gan Archimedes, gwaith a ailddarganfuwyd yn yr 20g.[2]

Yn Asia, defnyddiodd y mathemategydd Tsieineaidd Liu Hui y dull dihysbydd yn y 3g OC i ddod o hyd i arwynebedd cylch.[3] O lenyddiaeth Jain, ymddengys bod Hindwiaid yn meddu ar y fformwlâu ar gyfer swm y gyfres rifyddeg a'rf gyfres geometrig mor gynnar â'r 4g CC[4] gyda Ācārya Bhadrabāhu yn defnyddio swm y gyfres geometrig yn ei Kalpasūtra yn 433 CC.[5] Mewn mathemateg Indiaidd, canfuwyd bod enghreifftiau penodol o gyfresi rhifyddeg i'w gweld ymhlyg mewn Llenyddiaeth Vedic mor gynnar â 2000 CC

Yr Oesoedd CanolGolygu

Sefydlodd Zu Chongzhi ddull a fyddai’n ddiweddarach yn cael ei alw’n egwyddor Cavalieri i ddod o hyd i gyfaint sffêr yn y 5g.[6] Yn y 12g, rhoddodd y mathemategydd Indiaidd Bhāskara II enghreifftiau o ddeilliannau a defnyddiodd yr hyn a elwir bellach yn theorem Rolle.[7]

Yn y 14g, datblygodd Madhava o Sangamagrama ehangiadau cyfres anfeidrol (infinite series expansions), a elwir bellach yn gyfres Taylor, o swyddogaethau fel sin, cosin, tangiad a gwrthdangiad.[8] Ochr yn ochr â’i ddatblygiad o gyfres Taylor o ffwythiannau trigonometrig, amcangyfrifodd hefyd faint y termau gwallus a ddeilliodd o leihau'r cyfresi hyn, a rhoddodd frasamcan rhesymegol o rai cyfresi anfeidrol. Ehangodd ei ddilynwyr yn Ysgol Seryddiaeth a Mathemateg Kerala ei weithiau ymhellach, hyd at yr 16g.

ModernGolygu

Y sylfeiniGolygu

Sefydlwyd sylfeini modern dadansoddiad mathemategol yn Ewrop yr 17g.[1] Dechreuodd hyn pan ddatblygodd Fermat a Descartes geometreg ddadansoddol, sef rhagflaenydd calcwlws modern. Roedd dull digonolrwydd (<i>adequality</i>) Fermat yn caniatáu iddo bennu uchafsymiau a lleiafsymiau ffwythiannau a thangiadau cromliniau.[9] Ystyrir mai cyhoeddi <i>La Géométrie</i> Descartes ym 1637, a gyflwynodd y system gyfesurynnol Gartesaidd, oedd dechrau dadansoddiad mathemategol. Ychydig ddegawdau yn ddiweddarach datblygodd Newton a Leibniz galcwlws anfeidrolion (infinitesimals) yn annibynnol i'w gilydd, a dyfodd trwy'r 18g, gan ymdoddi i fewn i bynciau dadansoddi fel calcwlws amrywiadau, hafaliadau gwahaniaethol cyffredin a rhannol, dadansoddiad Fourier, a ffwythiannau. Yn ystod y cyfnod hwn, cymhwyswyd technegau calcwlws i broblemau arwahanol.

ModerneiddioGolygu

Yn y 18g cyflwynodd Euler y syniad o ffwythiant fathemategol.[10] Dechreuodd dadansoddiad go iawn ddod i'r amlwg fel pwnc annibynnol pan gyflwynodd Bernard Bolzano y diffiniad modern o barhad yn 1816,[11] ond ni ddaeth gwaith Bolzano yn hysbys tan yr 1870au. Yn 1821, dechreuodd Cauchy roi calcwlws ar sylfaen resymegol gadarn trwy wrthod egwyddor cyffredinolrwydd algebra a ddefnyddiwyd yn helaeth mewn gwaith cynharach, yn enwedig gan Euler. Yn lle hynny, lluniodd Cauchy galcwlws o ran syniadau geometrig ac anfeidrolion. Felly, roedd ei ddiffiniad o barhad yn gofyn am newid anfeidrol yn x i gyfateb i newid anfeidrol yn y. Cyflwynodd hefyd y cysyniad a elwir yn "ddilyniant Cauchy", a dechreuodd theori ffurfiol dadansoddi cymhlyg. Astudiodd Poisson, Liouville, Fourier ac eraill hafaliadau gwahaniaethol rhannol a dadansoddi harmonig. Datblygodd cyfraniadau'r mathemategwyr hyn ac eraill, fel Weierstrass, y dull diffinio terfan (ε, δ), a thrwy hynny sefydlu maes dadansoddiad mathemategol modern.

Yng nghanol y 19g cyflwynodd Riemann ei theori'rintegryn. Yn nhraean olaf y ganrif gwelwyd rhifeddiad dadansoddiad (arithmetization of analysis) gan Weierstrass, a oedd o'r farn bod rhesymu geometrig yn gamarweiniol yn ei hanfod, a chyflwynodd y diffiniad "epsilon-delta" o derfan. Yna, dechreuodd mathemategwyr boeni eu bod yn tybio bodolaeth continwwm o rifau real heb brawf. Adeiladodd Dedekind y rhifau real trwy doriadau Dedekind, lle mae rhifau anghymarebol yn cael eu diffinio'n ffurfiol, sy'n llenwi'r "bylchau" rhwng rhifau cymarebol, a thrwy hynny greu set gyflawn: continwwm o rifau real, a oedd eisoes wedi'u datblygu gan Simon Stevin o ran ehangiadau degol. Tua'r adeg honno, arweiniodd yr ymdrechion i fireinio theoremau integreiddio Riemann at astudio "maint" y set o doriannau'r ffwythiannau real.

Hefyd, dechreuwyd ymchwilio i "angenfilod " ("monsters"). Yn y cyd-destun hwn, datblygodd Jordan ei ddamcaniaeth o fesur, datblygodd Cantor yr hyn a elwir bellach yn theori-set naïf, a phrofodd René-Louis Baire theorem categori Baire. Yn gynnar yn yr 20g, ffurfiolwyd calcwlws gan ddefnyddio theori set gwirebol. Datrusodd Henri Lebesgue y broblem o fesur, a chyflwynodd David Hilbert ofod Hilbert, i ddatrys hafaliadau cyfanrifau. Roedd y syniad o 'ofod fector wedi'i normaleiddio' yn cael ei drafod, ac yn y 1920au creodd Banach ddadansoddiad ddadansoddi ffwythiannol.

Cysyniadau pwysigGolygu

Gofod metrigGolygu

Mewn mathemateg, set yw gofod metrig lle diffinnir y syniad o bellter (a elwir yn 'fetrig') rhwng elfennau o'r set.

Mae llawer o'r dadansoddiad yn digwydd mewn rhywfaint o ofod metrig; y rhai a ddefnyddir amlaf yw'r llinell real, yr plân cymhlyg, gofod Ewclidaidd, gofodau fector eraill, a'r cyfanrifau. Mae enghreifftiau o ddadansoddi heb fetrig yn cynnwys theori mesur (sy'n disgrifio maint yn hytrach na phellter) a dadansoddiad ffwythiannol (sy'n astudiaeth o ofodau fector topolegol nad oes angen iddynt fod ag unrhyw ymdeimlad o bellter).

Yn ffurfiol, mae gofod metrig yn bâr mewn trefn   lle   yn set a   yn fetrig ar  , hy, mae'n ffwythiant

 

ac ar gyfer pob  , mae'r canlynol yn dal:

  1.   os ac yn unig os yw    (identity of indiscernibles),
  2.    (cymesuredd), a
  3.    (anghydraddoldeb triongl).

Trwy gymryd y trydydd eiddo a gosod  , gellir dangos hynny     (heb fod yn negyddol).

Dilyniannau a therfanauGolygu

Mae dilyniant yn rhestr drefnus. Fel set, mae'n cynnwys aelodau (a elwir hefyd yn elfennau, neu'n dermau). Yn wahanol i set, mae trefn yn bwysig, a gall yr un elfennau ymddangos sawl gwaith mewn gwahanol safle yn y dilyniant. Yn fwyaf manwl gywir, gellir diffinio dilyniant fel ffwythiant y mae ei pharth yn set y gellir ei threfnu'n llwyr, fel y rhifau naturiol.

Un o briodweddau pwysicaf dilyniant yw cydgyfeiriant. Yn anffurfiol, mae dilyniant yn cydgyfarfod os oes ganddo derfan. Gan barhau'n anffurfiol, mae gan ddilyniant (unigol-anfeidrol) derfan os yw'n agosáu at ryw bwynt x, a elwir y terfan, wrth i n ddod yn fawr iawn. Hynny yw, ar gyfer dilyniant haniaethol (an) (gydag n yn rhedeg o 1 i anfeidredd deall) mae'r pellter rhwng an ac x yn agosau at 0 fel n → ∞, a ddynodir

 

Prif ganghennauGolygu

Dadansoddiad realGolygu

Mae dadansoddiad real (hen enw: theori ffwythiannau newidyn real) yn gangen o ddadansoddiad mathemategol sy'n delio â rhifau real a ffwythiannau o werth real newidyn real.[12][13] Yn benodol, mae'n delio â phriodweddau dadansoddol ffwythiannau a dilyniannau real, gan gynnwys cydgyfeiriant a therfanau dilyniannau rhifau real, calcwlws y rhifau real, a pharhad, llyfnder a phriodweddau cysylltiedig ffwythiannau o werth real.

Dadansoddiad cymhlygGolygu

Dadansoddiad cymhlyg yw'r gangen o ddadansoddiad mathemategol sy'n ymchwilio i ffwythiannau rhifau cymhleth. Mae'n ddefnyddiol mewn llawer o ganghennau mathemateg, gan gynnwys geometreg algebraidd, theori rhif, mathemateg gymhwysol, yn ogystal ag oddi mewn i ffiseg, gan gynnwys hydrodynameg, thermodynameg, peirianneg fecanyddol, peirianneg drydanol, ac yn arbennig, theori maes cwantwm.

Dadansoddiad ffwythiannolGolygu

Mae dadansoddiad ffwythiannol yn gangen o ddadansoddiad mathemategol, y mae ei graidd yn cael ei ffurfio trwy astudio gofodau fector wedi'u impio â rhyw fath o strwythur sy'n gysylltiedig â therfan (ee cynnyrch mewnol, norm, topoleg, ac ati) a'r gweithredwyr llinol sy'n gweithredu ar y gofodau hyn. Mae gwreiddiau hanesyddol dadansoddiad ffwythiannol yn gorwedd o fewn yr astudiaeth o ofodau ffwythiannol a llunio priodweddau trawsnewid ffwythiannau fel trawsnewidiad Fourier.

Hafaliadau differolGolygu

Hafaliad mathemategol yw hafaliad differol ar gyfer ffwythiant anhysbys o un neu sawl newidyn sy'n cysylltu gwerthoedd y ffwythiant ei hun a'i deilliadau o wahanol orchmynion.[14] Mae hafaliadau gwahaniaethol yn chwarae rhan amlwg mewn peirianneg, ffiseg, economeg, bioleg a disgyblaethau eraill.

Mae hafaliadau gwahaniaethol yn codi mewn sawl maes o fewn gwyddoniaeth a thechnoleg. Dangosir hyn mewn mecaneg glasurol, lle mae corff yn cael ei ddisgrifio gan ei safle a'i gyflymder wrth i'r gwerth amser amrywio. Mae deddfau Newton yn caniatáu i un fynegi'r newidynnau hyn yn ddeinamig fel hafaliad differol ar gyfer safle anhysbys y corff fel swyddogaeth amser. Mewn rhai achosion, gellir datrys yr hafaliad differol hwn (a elwir yn hafaliad mudiant).

Theori mesurGolygu

Mae mesur ar set yn ffordd systematig i neilltuo rhif i bob is -set addas o'r set honno, wedi'i dehongli'n fel ei maint.[15] Yn yr ystyr hwn, mae 'mesur' yn gyffredinoliad o gysyniadau hyd, arwynebedd a chyfaint. Enghraifft arbennig o bwysig yw'r mesur Lebesgue ar ofod Ewclidaidd, sy'n neilltuo hyd confensiynol, arwynebedd a chyfaint geometreg Ewclidaidd i is-setiau addas o ddimeniwn-   o ofod Ewclidaidd dimensiwn  . Er enghraifft, y mesur Lebesgue o'r cyfwng   yn y rhifau real yw ei hyd (yn ystyr bob dydd o'r gair), yn benodol, 1.

Dadansoddiad rhifiadolGolygu

Dadansoddiad rhifiadol yw'r astudiaeth o algorithmau sy'n defnyddio brasamcan rhifiadol (yn hytrach na thriniaethau symbolaidd cyffredinol) ar gyfer problemau dadansoddi mathemategol (yn wahanol i fathemateg arwahanol).[16]

Nid yw dadansoddiad rhifiadol modern yn ceisio atebion union, oherwydd yn aml ac yn ymarferol, mae'n amhosibl cael atebion union. Yn hytrach, mae llawer o'r dadansoddiad rhifiadol yn ymwneud â chael atebion bras wrth roi ffiniau rhesymol ar wallau.

Yn naturiol, caiff dadansoddiad rhifiadol ei gymhwyso i bob maes o fewn peirianneg a'r gwyddorau ffisegol, ond yn yr 21g, mae'r gwyddorau bywyd a hyd yn oed y celfyddydau wedi mabwysiadu elfennau o gyfrifiannau gwyddonol. Mae hafaliadau gwahaniaethol cyffredin yn ymddangos mewn mecaneg nefol (planedau, sêr a galaethau); mae algebra llinol rhifiadol yn bwysig ar gyfer dadansoddi data; mae hafaliadau gwahaniaethol stochastig a chadwyni Markov yn hanfodol wrth efelychu celloedd byw ar gyfer meddygaeth a bioleg.

Dadansoddiad fectorGolygu

Mae calcwlws fector, neu ddandansoddiad fector, yn ymwneud â differu ac integreiddio meysydd fector, yn bennaf mewn gofod Euclidaidd 3-dimensiwn. Weithiau defnyddir y term "calcwlws fector" fel cyfystyron ar gyfer pwnc ehangach calcwlws aml-newidiol, sy'n rhychwantu calcwlws fector yn ogystal â differu rhannol ac integreiddio lluosog. Mae calcwlws fector yn chwarae rhan bwysig mewn geometreg differol ac wrth astudio hafaliadau differol rhannol. Fe'i defnyddir yn helaeth mewn ffiseg a pheirianneg, yn enwedig yn y disgrifiad o feysydd electromagnetig, meysydd disgyrchiant, a llif hylif.

Datblygwyd calcwlws fector o ddadansoddiad cwaternaidd gan J. Willard Gibbs ac Oliver Heaviside tua diwedd y 19g, a sefydlwyd y rhan fwyaf o'r nodiant a'r derminoleg gan Gibbs ac Edwin Bidwell Wilson yn eu llyfr 1901, Vector Analysis. Yn ei ffurf gonfensiynol, gan ddefnyddio traws-gynhyrchion, nid yw calcwlws fector yn cyffredinoli i ddimensiynau uwch, tra bod dull amgen algebra geometrig sy'n defnyddio cynhyrchion allanol yn gwneud hynny.

Pynciau eraillGolygu

  • Mae calcwlws yr amrywiadau (calculus of variations) yn delio â ffwythiannau eithafol, yn hytrach na chalcwlws cyffredin sy'n delio â ffwythiannau'n unig.
  • Mae dadansoddiad harmonig yn delio â chynrychioli ffwythiannau neu signalau fel arosodiad (<i>superposition</i>) tonnau sylfaenol.
  • Mae dadansoddiad geometrig yn cynnwys defnyddio dulliau geometregol wrth astudio hafaliadau differol rhannol a chymhwyso theori hafaliadau differol rhannol i geometreg.
  • Mae dadansoddiad Clifford, yn astudiaeth o ffwythiannau-gwerth Clifford sy'n cael eu dinistrio gan weithredwyr tebyg i Dirac neu ei debyg, a elwir yn gyffredinol yn 'ffwythiannau dadansoddol monogenig Clifford.
  • Dadansoddiad <i id="mwAcM">p</i>-adig yw'r astudiaeth o ddadansoddiad yng nghyd-destun rhifau <i id="mwAcU">p</i>-adig, sy'n wahanol mewn rhai ffyrdd i'w cymheiriaid real a chymhyg.
  • Dadansoddiad ansafonol, sy'n ymchwilio i'r rhifau uwch-real (hyperreal) a'u ffwythiannau ac yn rhoi triniaeth drylwyr o anfeidrolion (infinitesimals) a niferoedd anfeidrol fawr.
  • Dadansoddiad cymeradwy, yr astudiaeth o ba rannau o ddadansoddiad y gellir eu cynnal mewn modd cymeradwy
  • Calcwlws stocastig - syniadau dadansoddol wedi'u datblygu ar gyfer prosesau stocastig .
  • Dadansoddiad â gwerth set - sy'n cymhwyso syniadau o ddadansoddiad a thopoleg i ffwythiannau i werth set.
  • Dadansoddiad amgrwm, astudio setiau a ffwythiannau amgrwm.
  • Dadansoddiad idempotent - dadansoddiad yng nghyd-destun idempotent semiring, lle mae diffyg gwrthdro ychwanegyn yn cael ei ddigolledu rhywfaint gan reol ddelfrydol A + A. = A.
    • Dadansoddiad trofannol - dadansoddiad o'r idempotent semiring a elwir yn semiring trofannol (neu algebra max-plus / algebra min-plus).

CymhwysoGolygu

Mae technegau dadansoddi hefyd i'w cael mewn meysydd eraill fel:

Y gwyddorau ffisegolGolygu

Mae'r mwyafrif helaeth o fecaneg glasurol, damcaniaeth perthnasedd a mecaneg cwantwm yn seiliedig ar ddadansoddiad cymhwysol, a hafaliadau differol yn benodol. Mae enghreifftiau o hafaliadau differol pwysig yn cynnwys ail gyfraith Newton, hafaliad Schrödinger, a hafaliadau maes Einstein .

Mae dadansoddiad ffwythiannol hefyd yn ffactor o bwys mewn mecaneg cwantwm.

Prosesu signalauGolygu

Wrth brosesu signalau, megis sain, tonnau radio, tonnau ysgafn, tonnau seismig, a hyd yn oed delweddau, gall dadansoddiad Fourier ynysu cydrannau unigol o donffurf cyfansawdd, gan eu cywasgu er mwyn eu canfod yn haws. Ceir grwp mawr o dechnegau prosesu signal sy'n cynnwys Fourier yn trawsnewid signal, trin y data a gwrthdroi'r trawsnewidiad.[17]

Meysydd eraill o fewn mathemategGolygu

Defnyddir technegau dadansoddi mewn sawl maes o fathemateg, gan gynnwys:

  • Damcaniaeth rhif dadansoddol
  • Cyfuniadeg dadansoddol
  • Tebygolrwydd parhaus
  • Entropi differol mewn theori gwybodaeth
  • Gemau differol
  • Geometreg differol, cymhwyso calcwlws i ofodau mathemategol penodol a elwir yn maniffoldiau sy'n meddu ar strwythur mewnol cymhlyg ond sy'n ymddwyn mewn modd syml yn lleol.
  • Maniffoldiau differol
  • Topoleg differol
  • Hafaliadau differol rhannol

Darllen pellachGolygu

  • Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (arg. 2nd). Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
  • Binmore, Kenneth George (1981). The foundations of analysis: a straightforward introduction. Cambridge University Press.
  • Johnsonbaugh, Richard; Pfaffenberger, William Elmer (1981). Foundations of mathematical analysis. New York: M. Dekker.
  • Fusco, Nicola; Marcellini, Paolo; Sbordone, Carlo (1996). Analisi Matematica Due (yn Eidaleg). Nodyn:Ill. ISBN 978-88-207-2675-1.
  • Rombaldi, Jean-Étienne (2004). Éléments d'analyse réelle : CAPES et agrégation interne de mathématiques (yn Ffrangeg). EDP Sciences. ISBN 978-2-86883-681-6.
  • Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (arg. 3rd). New York, USA: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
  • Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (arg. 3rd). New York, USA: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
  • Whittaker, Edmund Taylor; Watson, George Neville (1927-01-02). A Course Of Modern Analysis: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions; with an Account of the Principal Transcendental Functions (arg. 4th). at the University Press. ISBN 0-521-06794-4. (vi+608 pages) (reprinted: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
  • "Real Analysis - Course Notes" (PDF).
  • [18]


Dolenni allanolGolygu

CyfeiriadauGolygu

  1. 1.0 1.1 Jahnke, Hans Niels (2003). A History of Analysis. American Mathematical Society. t. 7. ISBN 978-0-8218-2623-2. Cyrchwyd 2015-11-15. Gwall cyfeirio: Tag <ref> annilys; mae'r enw "analysis" wedi'i ddiffinio droeon gyda chynnwys gwahanol
  2. Pinto, J. Sousa (2004). Infinitesimal Methods of Mathematical Analysis. Horwood Publishing. t. 8. ISBN 978-1-898563-99-0. Cyrchwyd 2015-11-15.
  3. Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonné (1966). A comparison of Archimedes' and Liu Hui's studies of circles. Chinese studies in the history and philosophy of science and technology. 130. Springer. t. 279. ISBN 978-0-7923-3463-7. Cyrchwyd 2015-11-15.
  4. Singh, A. N. (1936). "On the Use of Series in Hindu Mathematics". Osiris 1: 606–628. doi:10.1086/368443. JSTOR 301627. https://www.jstor.org/stable/301627.
  5. K. B. Basant, Satyananda Panda (2013). "Summation of Convergent Geometric Series and the concept of approachable Sunya". Indian Journal of History of Science 48: 291–313. https://insa.nic.in/writereaddata/UpLoadedFiles/IJHS/Vol48_2_7_KBBasant.pdf.
  6. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Calculus: Early Transcendentals (arg. 3). Jones & Bartlett Learning. t. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7. Cyrchwyd 2015-11-15.
  7. Seal, Sir Brajendranath (1915), "The positive sciences of the ancient Hindus", Nature 97 (2426): 177, Bibcode 1916Natur..97..177., doi:10.1038/097177a0
  8. Rajagopal, C. T.; Rangachari, M. S. (June 1978). "On an untapped source of medieval Keralese Mathematics". Archive for History of Exact Sciences 18: 89–102. doi:10.1007/BF00348142 (inactive 31 October 2021).
  9. Pellegrino, Dana. "Pierre de Fermat". Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2008-10-12. Cyrchwyd 2008-02-24.
  10. Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. t. 17.
  11. Cooke, Roger (1997). "Beyond the Calculus". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. t. 379. ISBN 978-0-471-18082-1. Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848)"Beyond the Calculus". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. p. 379. ISBN 978-0-471-18082-1. Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848)
  12. Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (arg. 3rd). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
  13. Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95060-0.
  14. Ince, Edward L. (1956). Ordinary Differential Equations. Dover Publications. ISBN 978-0-486-60349-0.
  15. Tao, Terence (2011). An Introduction to Measure Theory. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6919-2. Cyrchwyd 2018-10-26.
  16. Hildebrand, Francis B. (1974). Introduction to Numerical Analysis (arg. 2nd). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-028761-7.
  17. Rabiner, L. R.; Gold, B. (1975). Theory and Application of Digital Signal Processing. Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-914101-0.
  18. Aleksandrov [Алекса́ндров], Aleksandr Danilovich [Алекса́ндр Дани́лович]; Lavrent'ev [Лавре́нтьев], Mikhail Alexseevich [Михаи́л Алексе́евич]; Nikol'skiĭ [Нико́льский], Sergey Mikhailovich [Серге́й Миха́йлович]; Delone [Делоне́], Boris Nikolaevich [Бори́с Никола́евич]; Petrovskiĭ [Петро́вский], Ivan Georgievich [Ива́н Гео́ргиевич]; Sobolev [Со́болев], Sergei Lvovich [Серге́й Льво́вич]; Ladyženskaja [Лады́женская], Olga Aleksandrovna [Óльга Алекса́ндровна]; Krylov [Крылоў], Vladimir Ivanovich [Уладзімір Іванавіч]; Keldyš [Ке́лдыш], Mstislav Vsevolodovich [Мстисла́в Все́володович] (March 1969). Aleksandrov [Алекса́ндров], Aleksandr Danilovich [Алекса́ндр Дани́лович]; Kolmogorov [Колмого́ров], Andrey Nikolaevich [Андре́й Никола́евич]; Lavrent'ev [Лавре́нтьев], Mikhail Alexseevich [Михаи́л Алексе́евич] (gol.). Mathematics: Its Content, Methods, and Meaning. 1–3. Translation edited by Gould (arg. 2nd). The M.I.T. Press / American Mathematical Society. LCCN 64-7547. MIT 106, 107, 108. ark:/13960/t4sj8550w. [1] (NB. 3 softcover volumes in slipcase. Original Russian title in March 1956: Математика, ее содержание, методы и значение [2][3][4]. First English edition in 6 volumes by AMS in 1962/1963, revised English edition in 3 volumes by MIT Press in August 1964: [5], 2nd printing by MIT Press in April 1965. First MIT paperback edition in March 1969. Reprinted in one volume by Dover.)