Mewn mathemateg, mae plân yn arwyneb fflat, dau ddimensiwn sy'n ymestyn yr anfeidraidd ymhell. Plân yw'r analog dau ddimensiwn o bwynt (heb ddimensiwn), llinell (un dimensiwn) a lle (neu 'ofod') tri dimensiwn. Gall planau fodoli fel is-blanau (subspaces) hefyd, is-blanau o ryw ddimensiwn uwch, fel ystafell o fewn tŷ gada'i waliau'n cael eu hymestyn am byth, y tu allan i'r dyluniad. Dyma a wneir mewn geometreg Ewclidaidd.

Dau blân geometraidd yn croestori
Tri plân cyfochrog

Wrth weithio'n gyfan gwbl mewn gofod Ewclidaidd dau ddimensiwn, defnyddir y fannod (y plân), felly mae'r plân yn cyfeirio at y gofod cyfan. Mae llawer o dasgau sylfaenol mewn mathemateg, geometreg, trigonometreg, theori graff, a graffio yn cael eu gwneud mewn lle dau ddimensiwn, neu, mewn geiriau eraill, yn y plân.

Geometreg EwclidaiddGolygu

Fel llawer o gysyniadau mathemategol, Euclid oedd y cyntaf i grynhoi ei feddwl yn daclus yn y maes hwn (a'i gofnodi yn yr Elfennau), a hynny mewn dull gwirebol (axiomatic). Dewisodd lond dwrn o dermau craidd, heb eu diffinio (a elwir yn 'ofynion cyffredinol'; common notions) a 'chynosodau' (neu 'wirebau'); defnyddiodd y rhain i brofi nifer o ddatganiadau geometrig. Er nad yw'r plân, yn ei ystyr fodern, yn cael ei ddiffinio'n o fewn yr Elfennau, gellir ei ystyried fel rhan o'r gofynion cyffredinol. Ni ddefnyddiodd Euclid rifau erioed i fesur hyd, ongl, neu ardal. Oherwydd hyn, nid yw plân Ewclid yn union yr un fath â'r plân Cartesaidd.

Arwyneb a rannwys ar ffurf grid, felly, yw'r plân Ewclidaidd.

Planau tri dimensiwn mewn gofod EwclidaiddGolygu

Mewn gofod Ewclidaidd o unrhyw nifer o ddimensiynau, mae plân wedi'i bennu'n unigryw gan unrhyw un o'r canlynol:

  • Tri phwynt nad yw'n unllin (non-collinear) (pwyntiau ddim ar linell sengl).
  • Llinell a phwynt heb fod ar y linell honno.
  • Dwy linell wahanol sy'n croestorri.
  • Dwy linell gyfochrog.

NodweddionGolygu

Mae'r datganiadau canlynol yn dal mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn ond nid mewn dimensiynau uwch, er bod ganddynt analog uwch-ddimensiwn:

  • Mae dwy blân wahanol naill ai'n gyfochrog neu maent yn croestorri mewn llinell.
  • Mae llinell naill ai'n gyfochrog i'r plân, yn ei groestorri ar un pwynt, neu wedi'i gynnwys yn y plân.
  • Rhaid i ddwy linell wahanol, berpendicwlar i'r un plân fod yn gyfochrog â'i gilydd.
  • Rhaid i ddwy plân wahanol sy'n perpendicwlar i'r un linell fod yn gyfochrog â'i gilydd.

Hafaliadau'r plânGolygu

Mae gan blanau mewn gofod tri dimensiwn ddisgrifiad naturiol gan ddefnyddio pwynt yn y plân a fector orthogonal iddo (y fector arferol) i nodi ei "oledd" (inclination).

Pe ddywedir fod r0 yn fector safle o ryw bwynt P0 = (x0, y0, z0), a bod n = (a, b, c) yn fector di-sero. Mae'r plân a bennir gan y pwynt P0 a'r fector n yn cynnwys y pwyntiau P, gyda fectorau safle r, fel bod y fector a dynnir o P0 i P yn berpendicwlar i n. O dwyn i gof bod y ddau factor hyn yn berpendicwlar os yw eu lluoswm-dot yn sero, yna, mae'n dilyn y gellir disgrifio'r plân fel set o bob pwynt r fel bod:

 

(Mae'r dot yma'n gyfystyr â'r lluoswm-dot (neu 'luoswm sgalar'). O'i ehangu, fe geir:

 

sef y ffurf 'pwynt normal' o hafaliad y plân.[1] hafaliad llinol yw hwn

 

ble mae

 

Y gwrthwyneb: os yw a, b, c a d yn gysonion ac nad yw a, b, na c i gyd yn sero, yna mae graff yr hafaliad

 

yn blân sydd a'i fector n = (a, b, c) yn normal.[2] Dyma'r dull arferol o gyflwyno hafaliad y plân.[3]


Gweler hefydGolygu

  • Plân arosgo (planau arosgo) - (oblique plane)
  • Plân ar oledd - inclined plane
  • plân cyfeirnod - plane of reference
  • plân cymesuredd plane of symmetry

CyfeiriadauGolygu

  1. Anton 1994, p. 155
  2. Anton 1994, p. 156
  3. Weisstein, Eric W. (2009), "Plane", MathWorld--A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/Plane.html, adalwyd 2009-08-08