Rhif Bell

Mewn cyfuniadeg, mae'r rhifau Bell yn cyfri holl ymraniadau posibl set. Mae'r rhifau hyn wedi cael eu hastudio gan fathemategwyr ers y 19eg ganrif, ac mae eu gwreiddiau'n mynd yn ôl i Japan ganoloesol. Fe'u henwir ar ôl Eric Temple Bell, a ysgrifennodd amdanynt yn y 1930au.

Dynodir y rhifau Bell gan B_n, lle n yw cyfanrif mwy na neu'n hafal i sero. Gan ddechrau gyda B₀ = B₁ = 1, y rhifau Bell cyntaf yw

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, ... (cyfres A000110 yn yr On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)).

Mae'r rhif Bell B_n yn cyfri'r nifer o wahanol ffyrdd o ymrannu set sydd ag union n elfen, neu'n gywerth, y nifer o berthnasau cywerthedd arno. Mae B_n hefyd yn cyfrif nifer y gwahanol gynlluniau odl ar gyfer cerddi sydd ag n llinell.

Yn ogystal ag ymddangos mewn problemau cyfrif, mae gan y niferoedd hyn ddehongliad gwahanol yn nhermau momentau dosraniadau tebygolrwydd. Yn benodol, B_n yw n-fed moment dosraniad Poisson gyda chymedr 1.

Cyfrif

Y 52 ymraniad o set gyda 5 elfen.

Yn gyffredinol, B _n yw nifer ymraniadau set o faint n. Diffinnir ymraniad set S fel set o is-setiau anwag, digyswllt yn ôl y parau, S, y mae eu hundeb yw S. Er enghraifft, B₃ = 5 oherwydd gellir ymrannu set 3-elfen {a, b, c} mewn 5 ffordd wahanol:

{ {a}, {b}, {c} }

{ {a}, {b, c} }

{ {b}, {a, c} }

{ {c}, {a, b} }

{ {a, b, c} }.

B₀ yw 1 oherwydd un ymraniad yn union sydd o'r set wag. Mae pob aelod o'r set wag yn set ddiamwys a'u hundeb yw'r set wag. Felly, y set wag yw'r unig raniad ohono'i hun. Fel yr awgrymwyd gan y nodiant a osodwyd uchod, nid ydym yn ystyried trefn y rhaniadau na threfn yr elfennau ym mhob rhaniad, oherwydd nid oes gan setiau trefn.

Ffactorau

Os yw rhif N yn gyfanrif positif heb ffactorau sgwâr (hynny yw ei fod yn lluoswm rhyw rif n o rifau cysefin unigryw), yna mae B_n yn rhoi nifer y gwahanol ymraniadau lluosol N. Mae'r rhain yn ffactoriadau o N i mewn i rifau mwy nag un. Er enghraifft, 30 yw luoswm y tri rhif cysefin 2, 3 a 5, ac mae ganddo B₃ = 5 o ffactoriadau:

$30=2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5$

Cynlluniau odli

Mae'r rhifau Bell hefyd yn cyfri'r cynlluniau odl cerdd neu bennill n-llinell. Mae cynllun odli yn disgrifio pa linellau sy'n odli gyda'i gilydd, ac felly gellir eu dehongli fel ymraniad o'r set o linellau yn is-setiau odledig. Mae cynlluniau odli fel arfer yn cael eu hysgrifennu fel dilyniant o lythrennau Rhufeinig, un fesul llinell, gyda llinellau sy'n odli yn cael yr un llythyren â'i gilydd. Felly ar gyfer pennill pedwar llinell, mae B₄ = 15 cynllun odli posib: AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC, ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, ac ABCD.

Priodweddau

Fformiwlâu symio

Mae rhifau'r Bell yn bodloni perthynas dychweliadol sy'n cynnwys cyfernodau binomial:

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}.$

Gallwn esbonio'r perthynas hwn trwy arsylwi, o ymraniad mympwyol o n + 1 eitem, mae cael gwared ar y set sy'n cynnwys yr eitem gyntaf yn gadael ymraniad o set lai o eitemau. Gall y nifer o eitemau hyn fod k ar gyfer rhyw rif k a all amrywio o 0 i n. Mae yna ${\tbinom {n}{k}}$ dewis ar gyfer y k eitem sydd ar ôl ar ôl i un set gael ei dileu, ac mae B_k dewis o sut i'w ymrannu.

Mae fformiwla symio gwahanol yn cynrychioli pob rhif Bell fel swm o rifau Stirling o'r ail fath

$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}.$

Rhif Stirling $\left\{{n \atop k}\right\}$ yw nifer o ffyrdd i ymrannu set maint n i mewn yn union k is-set anwag. Felly, yn yr hafaliad uchod sy'n cysylltu'r rhifau Bell â'r rhifau Stirling, mae pob ymraniad a gyfrifir ar ochr chwith yr hafaliad yn cael ei gyfri mewn union un o dermau'r swm ar yr ochr dde, yr un lle mae k nifer o setiau yn yr ymraniad.

Mae Spivey (2008) wedi rhoi fformiwla sy'n cyfuno'r ddau swm hyn:

$B_{n+m}=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}\left\{{m \atop j}\right\}{n \choose k}j^{n-k}B_{k}.$

Rhifyddeg fodiwlaidd

Mae'r rhifau Bell yn ufuddhau cyfathiant Touchard: Os p yw unrhyw rif cysefin yna

$B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}$

neu, yn cyffredinoli

$B_{p^{m}+n}\equiv mB_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}.$

Fel integryn

Mae cymhwyso fformiwla integryn Cauchy i'r ffwythiant generadu esbonyddol yn rhoi'r gynrychiolaeth integryn cymhlyg

$B_{n}={\frac {n!}{2\pi ie}}\int _{\gamma }{\frac {e^{e^{z}}}{z^{n+1}}}\,dz.$

Hanes

Enwir rhifau Bell ar ôl Eric Temple Bell, a ysgrifennodd amdanynt ym 1938, yn dilyn papur yn 1934 lle bu'n astudio polynomialau Bell. Nid oedd Bell yn honni ei fod wedi darganfod y niferoedd hyn; yn ei bapur yn 1938, ysgrifennodd fod y rhifau Bell wedi cael eu hymchwilio'n aml, a'u bod wedi cael eu hailddarganfod nifer o weithiau. Mae Bell yn dyfynnu sawl cyhoeddiad cynharach ar y rhifau hyn, gan ddechrau gyda Dobiński (o 1877) sy'n rhoi fformiwla Dobiński ar gyfer y rhifau Bell. Galwodd Bell y rhifau hyn yn "rhifau esbonyddol"; rhoddwyd yr enw "rhifau Bell" a'r nodiant Bn ac iddynt gan Becker & Riordan (o 1948).

Ymddangosodd cyfrifiad cynhwysfawr cyntaf o ymraniadau set yn oesoedd canol Japan, lle (wedi ei ysbrydoli gan boblogrwydd y llyfr Chwedl Genji) ymddangosodd gêm barlwr o'r enw genji-ko, lle rhoddir pum pecyn o arogldarth i'r chwaraewyr i'w arogli, a gofynnir iddynt ddyfalu pa rai oedd yr un fath â'i gilydd a pha rai oedd yn wahanol. Cofnodwyd y 52 datrysiad posibl, a gyfrifwyd gan y rhif Bell B₅, gan 52 o wahanol ddiagram, a chafodd eu hargraffu uwchben penawdau'r penodau mewn rhai rhifynnau o Chwedl Genji.

Yn ail lyfr nodiadau Srinivasa Ramanujan, ymchwiliodd i mewn i bolynomialau Bell a rhifau Bell.