Rhif Bell

Mewn cyfuniadeg, mae'r rhifau Bell yn cyfri holl ymraniadau posibl set. Mae'r rhifau hyn wedi cael eu hastudio gan fathemategwyr ers y 19eg ganrif, ac mae eu gwreiddiau'n mynd yn ôl i Japan ganoloesol. Fe'u henwir ar ôl Eric Temple Bell, a ysgrifennodd amdanynt yn y 1930au.

Dynodir y rhifau Bell gan Bn, lle n yw cyfanrif mwy na neu'n hafal i sero. Gan ddechrau gyda B0 = B1 = 1, y rhifau Bell cyntaf yw

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, ... (cyfres A000110 yn yr On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)).

Mae'r rhif Bell Bn yn cyfri'r nifer o wahanol ffyrdd o ymrannu set sydd ag union n elfen, neu'n gywerth, y nifer o berthnasau cywerthedd arno. Mae Bn hefyd yn cyfrif nifer y gwahanol gynlluniau odl ar gyfer cerddi sydd ag n llinell.[1]

Yn ogystal ag ymddangos mewn problemau cyfrif, mae gan y niferoedd hyn ddehongliad gwahanol yn nhermau momentau dosraniadau tebygolrwydd. Yn benodol, Bn yw n-fed moment dosraniad Poisson gyda chymedr 1.

CyfrifGolygu

 
Y 52 ymraniad o set gyda 5 elfen.

Yn gyffredinol, B n yw nifer ymraniadau set o faint n. Diffinnir ymraniad set S fel set o is-setiau anwag, digyswllt yn ôl y parau, S, y mae eu hundeb yw S. Er enghraifft, B3 = 5 oherwydd gellir ymrannu set 3-elfen {abc} mewn 5 ffordd wahanol:

{ {a}, {b}, {c} }
{ {a}, {b, c} }
{ {b}, {a, c} }
{ {c}, {a, b} }
{ {a, b, c} }.

B0 yw 1 oherwydd un ymraniad yn union sydd o'r set wag. Mae pob aelod o'r set wag yn set ddiamwys a'u hundeb yw'r set wag. Felly, y set wag yw'r unig raniad ohono'i hun. Fel yr awgrymwyd gan y nodiant a osodwyd uchod, nid ydym yn ystyried trefn y rhaniadau na threfn yr elfennau ym mhob rhaniad, oherwydd nid oes gan setiau trefn.

FfactorauGolygu

Os yw rhif N yn gyfanrif positif heb ffactorau sgwâr (hynny yw ei fod yn lluoswm rhyw rif n o rifau cysefin unigryw), yna mae Bn yn rhoi nifer y gwahanol ymraniadau lluosol N. Mae'r rhain yn ffactoriadau o N i mewn i rifau mwy nag un.[2] Er enghraifft, 30 yw luoswm y tri rhif cysefin 2, 3 a 5, ac mae ganddo B3 = 5 o ffactoriadau:

 

Cynlluniau odliGolygu

Mae'r rhifau Bell hefyd yn cyfri'r cynlluniau odl cerdd neu bennill n-llinell. Mae cynllun odli yn disgrifio pa linellau sy'n odli gyda'i gilydd, ac felly gellir eu dehongli fel ymraniad o'r set o linellau yn is-setiau odledig. Mae cynlluniau odli fel arfer yn cael eu hysgrifennu fel dilyniant o lythrennau Rhufeinig, un fesul llinell, gyda llinellau sy'n odli yn cael yr un llythyren â'i gilydd. Felly ar gyfer pennill pedwar llinell, mae B4 = 15 cynllun odli posib: AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC, ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, ac ABCD.[1]

PriodweddauGolygu

Fformiwlâu symioGolygu

Mae rhifau'r Bell yn bodloni perthynas dychweliadol sy'n cynnwys cyfernodau binomial:[3]

 

Gallwn esbonio'r perthynas hwn trwy arsylwi, o ymraniad mympwyol o n + 1 eitem, mae cael gwared ar y set sy'n cynnwys yr eitem gyntaf yn gadael ymraniad o set lai o eitemau. Gall y nifer o eitemau hyn fod k ar gyfer rhyw rif k a all amrywio o 0 i n. Mae yna   dewis ar gyfer y k eitem sydd ar ôl ar ôl i un set gael ei dileu, ac mae Bk dewis o sut i'w ymrannu.

Mae fformiwla symio gwahanol yn cynrychioli pob rhif Bell fel swm o rifau Stirling o'r ail fath

 

Rhif Stirling   yw nifer o ffyrdd i ymrannu set maint n i mewn yn union k is-set anwag. Felly, yn yr hafaliad uchod sy'n cysylltu'r rhifau Bell â'r rhifau Stirling, mae pob ymraniad a gyfrifir ar ochr chwith yr hafaliad yn cael ei gyfri mewn union un o dermau'r swm ar yr ochr dde, yr un lle mae k nifer o setiau yn yr ymraniad.[4]

Mae Spivey (2008) wedi rhoi fformiwla sy'n cyfuno'r ddau swm hyn:

 

Rhifyddeg fodiwlaiddGolygu

Mae'r rhifau Bell yn ufuddhau cyfathiant Touchard: Os p yw unrhyw rif cysefin yna[5]

 

neu, yn cyffredinoli[6]

 

Fel integrynGolygu

Mae cymhwyso fformiwla integryn Cauchy i'r ffwythiant generadu esbonyddol yn rhoi'r gynrychiolaeth integryn cymhlyg

 [7]

HanesGolygu

Enwir rhifau Bell ar ôl Eric Temple Bell, a ysgrifennodd amdanynt ym 1938, yn dilyn papur yn 1934 lle bu'n astudio polynomialau Bell.[8][9] Nid oedd Bell yn honni ei fod wedi darganfod y niferoedd hyn; yn ei bapur yn 1938, ysgrifennodd fod y rhifau Bell wedi cael eu hymchwilio'n aml, a'u bod wedi cael eu hailddarganfod nifer o weithiau. Mae Bell yn dyfynnu sawl cyhoeddiad cynharach ar y rhifau hyn, gan ddechrau gyda Dobiński[10] (o 1877) sy'n rhoi fformiwla Dobiński ar gyfer y rhifau Bell. Galwodd Bell y rhifau hyn yn "rhifau esbonyddol"; rhoddwyd yr enw "rhifau Bell" a'r nodiant Bn ac iddynt gan Becker & Riordan[11] (o 1948).

Ymddangosodd cyfrifiad cynhwysfawr cyntaf o ymraniadau set yn oesoedd canol Japan, lle (wedi ei ysbrydoli gan boblogrwydd y llyfr Chwedl Genji) ymddangosodd gêm barlwr o'r enw genji-ko, lle rhoddir pum pecyn o arogldarth i'r chwaraewyr i'w arogli, a gofynnir iddynt ddyfalu pa rai oedd yr un fath â'i gilydd a pha rai oedd yn wahanol. Cofnodwyd y 52 datrysiad posibl, a gyfrifwyd gan y rhif Bell B5, gan 52 o wahanol ddiagram, a chafodd eu hargraffu uwchben penawdau'r penodau mewn rhai rhifynnau o Chwedl Genji.[12]

Yn ail lyfr nodiadau Srinivasa Ramanujan, ymchwiliodd i mewn i bolynomialau Bell a rhifau Bell.[13]

CyfeiriadauGolygu

  1. 1.0 1.1 Gardner, Martin (1978-05). "Mathematical Games". Scientific American 238 (5): 24–30. doi:10.1038/scientificamerican0578-24. ISSN 0036-8733. http://dx.doi.org/10.1038/scientificamerican0578-24.
  2. Williams, G. T. (1945). "Numbers Generated by the Function ee x-1". The American Mathematical Monthly 52 (6): 323–327. doi:10.2307/2305292. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2305292.
  3. Wilf, Herbert S., 1931-2012. (1994). Generatingfunctionology (arg. 2nd ed). Boston: Academic Press. ISBN 0-12-751956-4. OCLC 29831213.CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: extra text (link)
  4. Conway, John H. (John Horton),. The book of numbers. Guy, Richard K.,. New York, NY. ISBN 0-387-97993-X. OCLC 32854557.CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  5. Becker, H. W.; Riordan, John (1948-04). "The Arithmetic of Bell and Stirling Numbers". American Journal of Mathematics 70 (2): 385. doi:10.2307/2372336. https://www.jstor.org/stable/2372336?origin=crossref.
  6. Hurst & Schultz (2009).
  7. Simon, Barry (2015). Advanced Complex Analysis. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1101-5.
  8. Bell, E. T. (1934-04). "Exponential Polynomials". The Annals of Mathematics 35 (2): 258. doi:10.2307/1968431. https://www.jstor.org/stable/1968431?origin=crossref.
  9. Bell, E. T. (1938-07). "The Iterated Exponential Integers". The Annals of Mathematics 39 (3): 539. doi:10.2307/1968633. https://www.jstor.org/stable/1968633?origin=crossref.
  10. "Summirung der Reihe 1 + + .". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 1827 (2): 358–363. 1827-01-01. doi:10.1515/crll.1827.2.358. ISSN 0075-4102. http://dx.doi.org/10.1515/crll.1827.2.358.
  11. Becker, H. W.; Riordan, John (1948-04). "The Arithmetic of Bell and Stirling Numbers". American Journal of Mathematics 70 (2): 385. doi:10.2307/2372336. https://www.jstor.org/stable/2372336?origin=crossref.
  12. KNUTH, DONALD E. (2013-06-27), "Two Thousand Years of Combinatorics", Combinatorics: Ancient and Modern (Oxford University Press): pp. 3–38, ISBN 978-0-19-965659-2, http://dx.doi.org/10.1093/acprof:oso/9780199656592.003.0001, adalwyd 2020-10-01
  13. Berndt, Bruce C.; Dixit, Atul; Sohn, Jaebum (2011-01). "Character analogues of theorems of Ramanujan, Koshliakov and Guinand". Advances in Applied Mathematics 46 (1-4): 54–70. doi:10.1016/j.aam.2009.12.003. ISSN 0196-8858. http://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2009.12.003.