Theorem gwerth-cymedrig

Mewn mathemateg, mae'r theorem gwerth-cymedrig yn nodi, yn fras, os rhoddir arc blanar rhwng dau bwynt terfyn, bodolir o leiaf un pwynt lle mae'r tangiad i'r arc yn baralel i'r secant trwy ei bwyntiau terfyn.

Ar gyfer unrhyw ffwythiant sy'n ddi-dor ar $[a,b]$ ac yn ddifferadwy ar $(a,b)$ mae yna ryw $c$ yn y cyfwng $(a,b)$ fel bod y secant sy'n ymuno pwyntiau terfyn y cyfwng $[a,b]$ yn baralel i'r tangiad yn $c$.

Yn fanwl gywir, os yw $f$ yn ffwythiant di-dor ar gyfwng caeedig$[a,b]$, ac yn ddifferadwy ar y cyfwng agored $(a,b)$, yna mae pwynt $c$ yn bodoli o fewn $(a,b)$ fel bod y tangiad yn c yn baralel i'r llinell secant trwy'r pwyntiau terfyn $(a,f(a))$ ac $(b,f(b))$, hynny yw,

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Mae'n un o'r canlyniadau pwysicaf mewn dadansoddiad real.

Hanes

Disgrifiwyd achos arbennig o’r theorem hon yn gyntaf gan Parameshvara (1370–1460), o Ysgol Seryddiaeth a Mathemateg Kerala yn India, yn ei sylwebaethau ar Govindasvāmi a Bhāskara II. Profwyd ffurf gyfyngedig o'r theorem gan Michel Rolle ym 1691; y canlyniad oedd yr hyn a elwir bellach yn theorem Rolle, ac fe'i profwyd ar gyfer polynomialau yn unig, heb dechnegau calcwlws. Cafodd y theorem gwerth-cymedrig yn ei ffurf fodern ei nodi a'i brofi gan Augustin Louis Cauchy ym 1823.

Datganiad ffurfiol

Mae'r ffwythiant $f$ yn cyflawni graddiant y secant rhwng $a$ a $b$ fel ei deilliad ar y pwynt $\xi \in (a,b)$.

Mae hefyd yn bosibl bod mwy nag un tangiad yn baralel i'r secant.

Gadewch i$f:[a,b]\to \mathbb {R}$ bod yn ffwythiant di-dor ar y cyfwng caeedig $[a,b]$, ac yn ddifferadwy ar y cyfwng agored $(a,b)$, lle$a<b$. Yna bodolir rhyw $c$ o fewn $(a,b)$ fel bod

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Mae'r theorem gwerth-cymedrig yn cyffredinoli theorem Rolle, sydd â'r dybiaeth bod $f(a)=f(b)$, hynny yw bod ochr dde'r mynegiant uchod yn sero.

Mae'r theorem gwerth-cymedrig yn dal i fod yn ddilys mewn lleoliad ychydig yn fwy cyffredinol. Nid oes ond angen tybio hynny$f:[a,b]\to \mathbb {R}$ yn barhaus ar$[a,b]$, a hynny am bob $x$ yn$(a,b)$ y terfyn

Mae'r mynegiant ${\frac {f(b)-f(a)}{(b-a)}}$ yn rhoi graddiant y llinell sy'n ymuno'r pwyntiau $(a,f(a))$ ac $(b,f(b))$, sy'n gord i graff $f$. Mae$f'(x)$ yn rhoi graddiant y tangiad i'r gromlin yn y pwynt $(x,f(x))$. Felly mae'r theorem gwerth-cymedrig yn dweud, o ystyried unrhyw gord cromlin esmwyth, y gallwn ddod o hyd i bwynt sy'n gorwedd rhwng diweddbwyntiau'r cord fel bod y tangiad ar y pwynt hwnnw yn baralel i'r cord.

Prawf

Diffiniwch $g(x)=f(x)-rx$, lle mae $r$ yn gysonyn. Gan fod $f$ yn ddi-dor ar $[a,b]$ ac yn ddifferadwy ar $(a,b)$, mae'r un peth yn wir am $g$. Rydyn ni nawr eisiau dewis $r$ fel bod $g$ yn bodloni amodau theorem Rolle, sef

O theorem Rolle, gan fod $g$ yn ddifferadwy ac mae $g(a)=g(b)$, mae yna bodoler rhyw $c$ o fewn $(a,b)$ lle mae $g'(c)=0$. Mae'n dilyn o'r hafaliad $g(x)=f(x)-rx$ bod,

${\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\end{aligned}}$