Theorem Bayes-Price

O fewn damcaniaeth tebygolrwydd ac o fewn ystadegau, mae theorem Bayes-Price (a elwir hefyd yn gyfraith Bayes-Price; ond tan yn ddiweddar, fel Theorem Bayes) yn disgrifio tebygolrwydd rhyw ddigwyddiad, yn seiliedig ar wybodaeth flaenorol o amodau a allai fod yn gysylltiedig â'r digwyddiad. Er enghraifft, os yw canser yn gysylltiedig ag oedran, yna, gan ddefnyddio theorem Bayes, gellir defnyddio oed unigolyn i asesu'n fwy cywir y tebygolrwydd bod ganddynt ganser, o'i gymharu ag asesu tebygolrwydd canser heb wybodaeth am oedran yr unigolyn.

Un o nifer o gymwysiadau theorem Bayes yw anwythiad Bayesaidd, sy'n fath o anwythiad ystadegol. Pan gaiff ei gymhwyso, gall y tebygolrwydd sy'n gysylltiedig â theori Bayes gael dehongliadau tebygolrwydd gwahanol. Gyda'r gwahanol ddehongliad hyn, mae'r theorem yn mynegi sut y dylai meddylfryd goddrychol newid i adlewyrchu'r dystiolaeth gysylltiedig. Mae anwythiad Bayesaidd yn hanfodol i'r ystadegydd Bayesaidd.

Galwyd y theorem ar ôl y Parchedig Thomas Bayes (1701-1761), y gŵr cyntaf i ddarparu hafaliad sy'n caniatáu tystiolaeth newydd i ddiweddaru credoau. Gwnaeth hynny mewn traethawd o'r enw An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances (1763). Ei gyfaill, y Cymro a'r dyngarwr byd enwog Richard Price o Langeinwyr a sylwodd ar y wybodaeth newydd hon, wrth iddo fynd drwy bapurau Bayes, wedi'i angladd.^[1] Datblygwyd y cysyniadau hyn ymhellach gan Pierre-Simon Laplace, a gyhoeddodd y fformiwlâu am y tro cyntaf yn ei waith "Théorie analytique des probabilités" (1812). Rhoddodd Syr Harold Jeffreys algorithm Bayes a gwaith Laplace ar ffurf wirebol (acsiomatig). Ysgrifennodd Jeffreys "fod theorem Bayes i theori tebygolrwydd yr hyn yw theorem Pythagoras i geometreg".^[2]

Datganiad o'r theorem

Gellir datgan y theorem Bayesaidd, mewn hafaliad, fel:^[3]

P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},

ble mae $A$ a $B$ yn ddigwyddiadau (mathemategol) a $P(B)\neq 0$ .

$P(A\mid B)$ yw'r tebygolrwydd amodol: y tebygolrwydd i'r digwyddiad $A$ ddigwydd, gan fod $B$ yn gywir.
mae $P(B\mid A)$ hefyd yn debygolrwydd amodol: y tebygolrwydd i'r digwyddiad $B$ ddigwydd, gan fod $A$ yn gywir.
$P(A)$ a $P(B)$ yw'r tebygolrwydd o arsylwi $A$ a $B$ yn annibynnol o'i gilydd; gelwir hyn yn "debygolrwydd amodol".

Enghraifft

Tybiwch fod prawf ar gyfer defnyddio cyffur penodol yn 99% sensitif a 99% yn benodol. Hynny yw, bydd y prawf yn cynhyrchu 99% o ganlyniadau cadarnhaol gwirioneddol i ddefnyddwyr cyffuriau a 99% gwirioneddol negyddol ar gyfer defnyddwyr nad ydynt ar gyffuriau. Tybiwch eto fod 0.5% o bobl yn defnyddio'r cyffuriau dan sylw. Beth yw'r tebygolrwydd bod unigolyn a ddewiswyd ar hap gyda phrawf positif yn ddefnyddiwr cyffuriau?

{\begin{aligned}P({\text{Defnyddiwr}}\mid {\text{+}})&={\frac {P({\text{+}}\mid {\text{Defnyddiwr}})P({\text{Defnyddiwr}})}{P(+)}}\\&={\frac {P({\text{+}}\mid {\text{Defnyddiwr}})P({\text{Defnyddiwr}})}{P({\text{+}}\mid {\text{Defnyddiwr}})P({\text{Defnyddiwr}})+P({\text{+}}\mid {\text{Heb fod yn ddefnyddiwr}})P({\text{Heb fod yn ddefnyddiwr}})}}\\[8pt]&={\frac {0.99\times 0.005}{0.99\times 0.005+0.01\times 0.995}}\\[8pt]&\approx 33.2\%\end{aligned}}

Hyd yn oed os yw unigolyn yn profi'n bositif, mae'n fwy tebygol nad ydynt yn defnyddio'r cyffur. Mae hyn oherwydd bod nifer y rhai nad ydynt yn ddefnyddwyr yn fawr o'i gymharu â nifer y defnyddwyr. Mae nifer y cadarnhaol anghywir (false positives) yn gorbwyso'r nifer positif gwirioneddol. Er enghraifft, pe profir 1,000 o unigolion yna disgwylir 995 o bobl nad ydynt ar y cyffuriau a 5 defnyddiwr. O'r 995 nad ydynt yn ddefnyddwyr, disgwylir 0.01 × 995 ≃ 10 cadarnhaol anghywir. O'r 5 defnyddiwr, disgwylir 0.99 × 5 ≈ 5 cadarnhaol anghywir. O blith 15 o ganlyniadau positif, dim ond 5 sy'n ddilys.

Diagram canghennog i egluro'n weledol yr enghraifft a roddir parthed defnyddwyr cyffuriau. Mae U, Ū, "+" and "−" ddigwyddiadau sy'n cynrychioli'r defnyddwyr, y rhai nad ydynt yn ddefnyddwyr, canlyniadau positif a negatif. events representing user, non-user, positive result and negative result. Cyfrifwyd y canrannau (mewn cromfachau).

Cyfeiriadau

↑ McGrayne, Sharon Bertsch. (2011). The Theory That Would Not Die p. 10., tud. 10, ar Google Books
↑ "Bayes' theorem "is to the theory of probability what the Pythagorean theorem is to geometry".
↑ Stuart, A.; Ord, K. (1994), Kendall's Advanced Theory of Statistics: Volume I—Distribution Theory, Edward Arnold, §8.7

Dolennau allanol

Weisstein, Eric W. "Bayes' Theorem". MathWorld.
Tiwtorial i fyfyrwyr ar ystadegaeth a theorem Bayesaidd.

[1] McGrayne, Sharon Bertsch. (2011). The Theory That Would Not Die p. 10., tud. 10, ar Google Books

[2] "Bayes' theorem "is to the theory of probability what the Pythagorean theorem is to geometry".

[3] Stuart, A.; Ord, K. (1994), Kendall's Advanced Theory of Statistics: Volume I—Distribution Theory, Edward Arnold, §8.7

[1]

[2]

[3]