Unfathiant

Mewn mathemateg unfathiant (Saesneg: identity) yw perthynas yr hafaledd A = B, fel bod A a B yn cynnwys rhai newidynnau a lle mae A a B yn rhoi'r un gwerthoedd a'i gilydd, ni waeth be fo'r gwerthoedd (rhifau, fel arfer) a gaiff eu cyfnewid am newidynnau. Mewn geiriau eraill, mae A = B yn unfathiant os yw A a B yn diffinio yr un ffwythiannau. Golyga hyn fod yr 'unfathiant' yn 'hafaledd' (equality) rhwng ffwythiannau a ddiffiniwyd yn wahanol. Er enghraifft, mae (a + b)²  =  a² + 2ab + b² a cos²(x) + sin²(x) = 1 yn unfathiannau.

Prawf gweledol o gyfathiant Pythagoraidd. Ar gyfer unrhyw ongl θ, mae'r pwynt (cos(θ),sin(θ)) yn gorwedd ar y cylch, sy'n bodloni yr hafaliad x²+y²=1. Felly, cos²(θ)+sin²(θ)=1.

Caiff unfathiannau eu dynodi gan y symbol ≡ (bariau triphlyg ), yn hytrach na =, sef yr hafaliad.

Unfathiant trigonometrig

Mae'r unfathiannau hyn yn ymwenud ag un neu ragor o ffwythiannau onglau. Sylwer nad oes gan y rhain ddim oll i wneud ag 'unfathiant y triongl', sy'n ymwenud ag onglau ac ochrau'r triongl. Mae unfathiannau trigonometrig yn ddefnyddiol pan fo angen symlhau mynegiannau perthnasol. Un o'r prif gymwysiadau yw integrynnau'r ffwythiannau an-nhrigonometrig.

Er enghraifft: $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ sy'n wir am bob gwerth cymhlyg o $\theta$ (gan mai'r rhifau cymhlyg $\mathbb {C}$ yw parth sin a cos), sef y gwrthwyneb i

$\cos \theta =1,$

sy'n wir am rai gwerthoedd yn unig o $\theta$, ond nid y cyfan e.e. mae'r hafaliad olaf hwn yn wir pan fo $\theta =0,$ ac yn anghywir pan fo $\theta =2$.

Unfathiant esbonyddol

Prif: Esbonydd

Mae'r unfathiannau canlynol yn gywir am yr holl esbonyddion cyfanrifol (integer exponents), cyn belled a bod y sail yn ansero:

${\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}$

Nid yw'r esbonydd yn gymudol. Mae hyn yn groes i adio a lluosi. Er enghraifft, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 a 2 · 3 = 3 · 2 = 6, ond 2³ = 8, tra bod 3² = 9.

Nid yw'r esbonydd ychwaith yn gysylltiadol; ond mae adio a lluosi. Er enghraifft, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 a (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, ond mae 2³ i 4 yn 8⁴ neu'n 4,096, tra bod 2 i'r 3⁴ yn 2⁸¹ neu'n 2,417,851,639,229,258,349,412,352. Heb gromfachau i addasu trefn y cyfrifiad, y drefn yw (top-i-lawr, nid gwaelod-i-fyny:

$b^{p^{q}}=b^{(p^{q})}\neq (b^{p})^{q}=b^{(p\cdot q)}=b^{p\cdot q}.$