Esbonydd

Mae'r esbonydd (exponent) yn dweud wrthom ni sawl tro y dylem ddefnyddio'r rhif mewn lluosi.

Graffiau o y = b^x am amryw o seliau (basau) b: bôn 10 (gwyrdd), bôn e (coch), bôn 2 (glas), a bôn 1/2 (gwyrddlas). Mae pob cromlin yn pasio drwy'r pwynt (0, 1) gan fod pob rhif (di-sero) a godir i bwer 0 yn 1. Ar x = 1, mae gwerth y yn hafal i'r bâs oherwydd fod pob rhif a godir i bwer 1 yn hafal i'r rhif ei hun.

Yn fwy manwl: mae'r esbonydd yn weithrediad mathemategol, wedi'i ysgrifennu fel bⁿ, sy'n ymwneud â dau rif, y sylfaen (neu'r bôn) b a'r esbonydd n. Tarddiad y gair yw 'esboniad' gan fod yma elfen o hynny. Pan mae n yn gyfanrif positif, mae'r esbonydd yn cyfateb i luosi ailadroddus o'r sylfaen: hynny yw, bⁿ yw'r lluoswm a geir o luosi n sylfaen (bôn):

$b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}.$

Dangosir yr esbonydd, fel arfer, ar ffurf is-sgript, i'r dde o'r bôn. Fel hyn, gelwir bⁿ yn "b wedi'i godi i bwer n" ("b raised to the n-th power" ayb).

Pan fo n yn gyfanrif positif a b ddim yn sero, diffinnir b⁻ⁿ fel 1/bⁿ, sy'n cadw'r nodwedd bⁿ × b^m = b^{n + m}. Gyda'r esbonydd −1, mae b⁻¹ yn hafal i 1/b, sef cilydd b.

Gellir ymestyn y diffiniad o esbonyddion i ganiatáu unrhyw esbonydd real neu gymhleth ar gyfer amrywiaeth eang o strwythurau algebraidd, gan gynnwys matricsau.

Defnyddir esbonyddion mewn llawer o feysydd, gan gynnwys economeg, bioleg, cemeg, ffiseg a gwyddor gyfrifiadurol, gyda chymwysiadau fel diddordeb cyfansawdd, twf poblogaeth, adwaith cemegol cineteg, ymddygiad tonnau, a chryptograffeg.

Hanes y nodiant

Defnyddiwyd y term "pwer" yn gyntaf gan y mathemategydd Groegaidd Euclid am sgwâr llinell (the square of a line). Canfuwyd a phrofwyd cyfraith yr esbonydd gan Archimedes ychydig wedyn, 10^a ⋅ 10^b = 10^a+b, a oedd yn hanfodol er mwyn trin pwerau 10. Yn y 9g defnyddiodd y mathemategydd Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī o Bersia mal am sgwario (hy lluosi rhif gydag ef ei hun) a ciwb (neu bwer 3; lluosi rhif gydag ef ei hun ddwywaith). Cynhrychiolwyd hyn yn ddiweddarach, mewn mathemateg Islamaidd, fel m a k fel y gwelir yng ngwaith Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī.

Terminoleg

Gelwir y mynegiant b² = b ⋅ b yn "sgwâr b" neu "b wedi'i sgwario" gan mai arwynebedd sgwâr gyda hyd pob ochr b yw b².

Gelwir y mynegiant b³ = b ⋅ b ⋅ b yn "ciwb b" neu "b wedi'i giwbio" gan mai cyfaint ciwb gyda'i ochrau yn b yw b³.

Gyda chyfanrif positif, mae'r esbonydd yn dangos sawl copi o'r bâs sy'n cael ei luosi gyda'i gilydd. Er enghraifft, 3⁵ = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243. Mae'r bâs 3 yn ymddangos 5 gwaith yn y lluosi ailadroddus, gan fod yr esbonydd yn 5. Yma, 3 yw'r bâs, 5 yw'r esbonydd a 243 yw'r pwer neu mewn geiriau eraill, 3 wedi'i godi i bwer 5.