Damcaniaeth rhifau

Cangen o fathemateg bur yw damcaniaeth rhifau (neu theori rhif), sef yr astudiaeth o briodweddau rhifau. Cyfanrifau yw canolbwynt y maes, ond fe gyfyd problemau ehangach wrth eu hastudio, sy'n cysylltu damcaniaeth rhifau â sawl cangen arall o fathemateg. Dywedodd y mathemategydd Carl Friedrich Gauss (1777-1855), "Mathemateg yw Brenhines y gwyddorau - a theori rhif yw Brenhines mathemateg."[1] Mae maes damcaniaethwyr rhif yn cynnwys rhifau cysefin, nodweddion gwrthrychau a wnaed o rifau cymarebol a chyfanrifau alegbraidd.

Data cyffredinol
Enghraifft o'r canlynolmaes o fewn mathemateg Edit this on Wikidata
Rhan omathemateg, Mathemateg bur Edit this on Wikidata
Tudalen Comin Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Ni ddylid cymysgu damcaniaeth rhifau a rhifyddeg elfennol, sef dulliau o adio, tynnu, a lluosi. Hyd at ddechrau'r 20g y term a ddefnyddiwyd am y ddamcaniaeth rhifau oedd "rhifyddeg".

Mae dosbarthiad rhifau cysefin yn bwynt astudio canolog mewn theori rhif. Mae'r tsbeiral Ulam hwn yn ei ddangos, gan awgrymu'r annibyniaeth amodol rhwng bod yn gysefin a bod yn werth o fewn rhai polynomialau cwadratig penodol.

Yr hen derm am theori rhif yw rhifyddeg. Erbyn dechrau'r 20g, roedd "theori rhif" wedi disodli'r term hwn. Defnyddir y gair "rhifyddeg" gan y cyhoedd i olygu "cyfrifiadau elfennol"; mae hefyd wedi caffael ystyron eraill mewn rhesymeg fathemategol, fel gyda rhifyddeg Peano, a gwyddoniaeth gyfrifiadurol, rhifyddeg pwynt arnofio. Adferwyd y defnydd o'r term rhifyddeg ar gyfer theori rhif am ychydig yn ail hanner yr 20g, yn rhannol oherwydd dylanwad Ffrainc.

HanesGolygu

GwreiddiauGolygu

 
Tabled Plimpton 322

Mae'r darganfyddiad hanesyddol cynharaf o natur rifyddeg yn ddarn o fwrdd: mae'r dabled clai toredig Plimpton 322 (Larsa, Mesopotamia, ca. 1800 CC) yn cynnwys rhestr o "Driawdau Pythagoraidd", hynny yw, cyfanrifau   fel bod  . Mae'r triawdau'n ormod ac yn rhy fawr i'w cael gan rym yn unig. Mae'r pennawd dros y golofn gyntaf yn darllen: "Mae Takiltum y groeslin sydd wedi'i dynnu fel bod y lled.." [2]

Mae cynllun y tabl yn awgrymu [3] iddo gael ei adeiladu trwy'r hyn sy'n cyfateb, mewn iaith fodern, i'r unfathiant.

 

sy'n digwydd yn naturiol o fewn ymarferion yr Hen Fabiloniaid.[4] Pe bai rhyw ddull arall yn cael ei ddefnyddio,[5] adeiladwyd y triawd yn gyntaf ac yna eu hail-osod gan  , yn ôl pob tebyg at ddefnydd gwirioneddol fel "tabl", er enghraifft, gyda golwg ar ei gymwyso mewn modd ymarferol.

Nid yw'n hysbys pa fath o gymwysiadau. Dim ond yn ddiweddarach y daeth seryddiaeth Babilonaidd. Awgrymwyd yn hytrach bod y tabl yn ffynhonnell o enghreifftiau rhifiadol ar gyfer problemau ysgol.[6]

Er bod theori rhif Babilonaidd yn cynnwys y darn sengl trawiadol hwn, roedd algebra Babilonaidd (yn yr ystyr ysgol uwchradd o " algebra ") wedi'i ddatblygu'n eithriadol o dda.[7] Nodir o fewn ffynonellau Neoplatonig hwyr bod Pythagoras wedi dysgu mathemateg gan y Babiloniaid. Mae ffynonellau llawer cynharach yn nodi bod Thales a Pythagoras wedi astudio yn yr Aifft. .

Siaradodd y traddodiad Pythagoreaidd hefyd am yr hyn a elwir yn niferoedd polygonal neu ffigurol (figurate numbers).[8] Er bod rhifau sgwâr, rhifau ciwbig, ac ati, bellach yn cael eu hystyried yn fwy naturiol na rhifau trionglog, rhifau pentagonal, ac ati, byddai astudio symiau rhifau trionglog a phentagonol yn cael ei gymeradwyo yn y cyfnod modern cynnar (17g i dechrau'r 19g).

Ni wyddom am unrhyw ddeunydd rhifyddol amlwg yn ffynonellau hynafol yr Aifft neu Veda, er bod rhywfaint o algebra ym mhob un. Mae'r theorem gweddill Tsieineaidd yn ymddangos fel ymarfer [9] yn Sunzi Suanjing (3g, 4g neu 5g).[10]

Mae rhywfaint o gyfriniaeth rifiadol hefyd mewn mathemateg Tsieineaidd, ond, yn wahanol i rai'r Pythagoreaid, ymddengys nad yw wedi arwain i unman. Fel rhifau perffaith y Pythagoriaid, mae sgwariau hud wedi pasio o ofergoeliaeth i hwyl a hamdden.

Gwlad Groeg Clasurol a'r cyfnod Hellenistig cynnarGolygu

Ar wahân i ychydig o ddarnau, mae mathemateg Gwlad Groeg Clasurol yn hysbys i ni naill ai trwy adroddiadau pobl nad ydynt yn fathemategwyr cyfoes neu trwy weithiau mathemategol o'r cyfnod Helenistaidd cynnar.[11] Yn achos theori rhif, mae hyn yn golygu, ar y cyfan, Plato ac Euclid.

Tra bod mathemateg Asiaidd wedi dylanwadu ar ddysgu Groeg a Helenistaidd, mae'n ymddangos bod mathemateg Gwlad Groeg hefyd yn draddodiad brodorol.

Mae Eusebius, PE X, pennod 4 yn sôn am Pythagoras :

"Mewn gwirionedd ymwelodd y Pythagoras dywededig, wrth astudio doethineb pob cenedl yn brysur, â Babilon, a'r Aifft, a Phersia cyfan, gan gael ei gyfarwyddo gan y Magi a'r offeiriaid: ac yn ychwanegol at y rhain dywedir iddo astudio o dan y Brahmans (athronwyr Indiaidd yw'r rhain); a chasglodd sêr-ddewiniaeth gan rai, oddi wrth eraill geometreg, a rhifyddeg a cherddoriaeth gan eraill, a gwahanol bethau o wahanol genhedloedd, a dim ond gan ddynion doeth Gwlad Groeg na chafodd ddim, gan iddynt briodi tlodi a phrinder doethineb: felly i'r gwrthwyneb daeth ef ei hun yn awdur cyfarwyddyd i'r Groegiaid yn y ddysg yr oedd wedi'i gaffael o dramor." [12]

Honnodd Aristotle fod athroniaeth Plato yn dilyn dysgeidiaeth y Pythagoriaid yn agos,[13] ac mae Cicero'n ailadrodd yr honiad hwn: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Maen nhw'n dweud bod Plato wedi dysgu popeth Pythagoraidd").[14]

Roedd gan Plato ddiddordeb mawr mewn mathemateg, ac roedd yn gwahaniaethu'n glir rhwng rhifyddeg a chyfrifo. Trwy un o ddeialogau Plato - sef Theaetetus - y gwyddom fod Theodorus wedi profi fod   yn afresymol. Roedd Theaetetus, fel Plato, yn ddisgybl i Theodorus; gweithiodd ar wahaniaethu gwahanol fathau o "incommensurables", ac felly gellir dadlau ei fod yn arloeswr wrth astudio systemau rhif. Mae Llyfr X o Elfennau Euclid yn cael ei ddisgrifio gan Pappus fel un sy'n seiliedig i raddau helaeth ar waith Theaetetus.

Neilltuodd Euclid ran o'i Elfennau i rifau cysefin a rhannu, pynciau sy'n perthyn yn ddiamwys i theori rhif ac sy'n sylfaenol iddi (Llyfrau VII i IX o Elfennau Euclid). Yn benodol, rhoddodd algorithm ar gyfer cyfrifiadura'r rhannwr cyffredin mwyaf o ddau rif (yr algorithm Ewclidaidd; Elements, Prop. VII.2) a'r prawf hysbys cyntaf o anfeidredd rhifau cysefin (Elfennau, Prop. IX.20).

Yn 1773, cyhoeddodd Lessing epigram yr oedd wedi dod o hyd iddo mewn llawysgrif yn ystod ei waith fel llyfrgellydd; honnodd ei fod yn llythyr a anfonwyd gan Archimedes at Eratosthenes.[15][16] Cynigiodd yr epigram yr hyn a elwir bellach yn "broblem gwartheg Archimedes"; mae ei ddatrysiad (yn absennol o'r llawysgrif) yn gofyn am ddatrys hafaliad cwadratig amhenodol (sy'n lleihau i'r hyn a fyddai wedyn yn cael ei gam- enwi'n 'hafaliad Pell'). Hyd y gwyddom, cafodd hafaliadau o'r fath eu trin yn llwyddiannus yn gyntaf gan yr ysgol Indiaidd. Nid yw'n hysbys a oedd gan Archimedes ei hun ddatrysiad i'r broblem.

DiophantusGolygu

 
Clawr rhifyn 1621 o Arithmetica gan Diophantus, wedi'i gyfieithu i'r Lladin gan Claude Gaspard Bachet de Méziriac .

Ychydig iawn sy'n hysbys am Diophantus o Alexandria; mae'n debyg ei fod yn byw yn y 3g OC, hynny yw, tua phum can mlynedd ar ôl Euclid. Mae chwech allan o un-deg-tri o lyfrau Arithmetica Diophantus wedi goroesi mewn Groeg ac mae pedwar arall wedi goroesi mewn cyfieithiad Arabeg. Mae'r Arithmetica yn gasgliad o broblemau sydd wedi'u cwblhau, lle mae'r dasg yn ddieithriad i ddod o hyd i atebion rhesymegol i system o hafaliadau polynomial, fel arfer o'r ffurf   neu  . Felly, y dyddiau hyn, rydym yn siarad am hafaliadau Diophantine pan fyddwn yn siarad am hafaliadau polynomial y mae'n rhaid dod o hyd i atebion rhesymegol neu gyfanrif iddynt.

Gellir dweud bod Diophantus yn astudio pwyntiau rhesymegol, hynny yw, pwyntiau y mae eu cyfesurynnau'n rhesymol - ar gromliniau ac amrywiadau algebraidd; fodd bynnag, yn wahanol i Roegiaid y cyfnod Clasurol, a wnaeth yr hyn y byddem bellach yn ei alw'n algebra sylfaenol mewn termau geometregol, gwnaeth Diophantus yr hyn y byddem ni nawr yn ei alw'n 'geometreg algebraidd sylfaenol' mewn termau algebraidd yn unig. Mewn iaith fodern, yr hyn a wnaeth Diophantus oedd hyn: o ystyried hafaliad o'r ffurf (dyweder)  , ei nod oedd dod o hyd i dair swyddogaeth resymegol   fel bod, ar gyfer holl werthoedd   a  , gosod   ar gyfer   sy'n rhoi ateb i  

Astudiodd Diophantus hefyd hafaliadau rhai cromliniau nad ydynt yn rhesymol, nad oes unrhyw barametrisiad rhesymegol yn bosibl ar eu cyfer. Llwyddodd i ddod o hyd i rai pwyntiau rhesymegol ar y cromliniau hyn (cromliniau eliptig, fel mae'n digwydd, yn yr hyn sy'n ymddangos fel y tro cyntaf) trwy'r hyn sy'n gyfystyr ag adeiladwaith tangiad: wedi'i drosi'n geometreg gyfesurynnol. Byddai ei ddull yn cael ei ddelweddu fel lluniadu tangiad i gromlin ar bwynt rhesymegol hysbys, ac yna'n darganfod pwynt croestoriad arall y tangiad â'r gromlin; mae'r pwynt arall hwnnw'n bwynt rhesymegol newydd.

Er bod Diophantus yn ymwneud i raddau helaeth ag atebion rhesymegol, cymerodd rai canlyniadau ar gyfanrifau, yn benodol bod pob cyfanrif yn gyfanswm o bedwar sgwâr.

Āryabhaṭa, Brahmagupta, BhāskaraGolygu

Er bod seryddiaeth Gwlad Groeg yn ôl pob tebyg wedi dylanwadu ar ddysgu Indiaidd, hyd at gyflwyno trigonometreg,[17] ymddengys ei bod yn wir bod mathemateg Indiaidd yn draddodiad brodorol fel arall; [18] yn benodol, nid oes tystiolaeth bod Elfennau Euclid wedi cyrraedd India cyn y 18g.[19]

Dangosodd Āryabhaṭa (476-550 OC) fod parau o gyfuniadau ar yr un pryd  ,   y gellid ei ddatrys trwy ddull o'r enw kuṭṭaka, neu pulveriser; [20] mae hon yn weithdrefn sy'n agos at yr algorithm Ewclidaidd, a ddarganfuwyd yn ôl pob tebyg yn annibynnol yn India.[21] Mae'n ymddangos bod Āryabhaṭa wedi ystyried cymwysiadau i gyfrifiadau seryddol.[17]

Dechreuodd Brahmagupta (628 OC) yr astudiaeth systematig o hafaliadau cwadratig amhenodol - yn enwedig hafaliad Pell, sydd wedi'i gam-enwi, y gallai fod gan Archimedes ddiddordeb ynddo gyntaf, ac na ddechreuwyd ei ddatrys yn y Gorllewin tan amser Fermat ac Euler. Yn ddiweddarach, byddai awduron Sansgrit yn dilyn, gan ddefnyddio terminoleg dechnegol Brahmagupta. Daethpwyd o hyd i weithdrefn gyffredinol (y chakravala, neu'r "dull cylchol") ar gyfer datrys hafaliad Pell o'r diwedd gan Jayadeva (a ddyfynnwyd yn yr 11g; ond collwyd ei waith, ers hynny); mae'r dangosiad cynharaf sydd wedi goroesi yn ymddangos yn Bīja-gaṇita Bhāskara II (12g).[22]

Arhosodd mathemateg Indiaidd yn anhysbys i raddau helaeth yn Ewrop tan ddiwedd y 12g. [23] Cyfieithwyd gwaith Brahmagupta a Bhāskara i'r Saesneg ym 1817 gan Henry Colebrooke.[24]

Rhifyddeg yn yr oes aur IslamaiddGolygu

Yn gynnar yn y nawfed ganrif, gorchmynnodd y caliph Al-Ma'mun gyfieithiadau o lawer o weithiau mathemategol Gwlad Groeg ac o leiaf un gwaith Sansgrit (y Sindhind, a all fod [25][26] yn waith gan Brahmagupta). Cyfieithwyd prif waith Diophantus, yr Arithmetica, i'r Arabeg gan Qusta ibn Luqa (820–912). Mae rhan o'r traethawd al-Fakhri (gan al-Karajī, 953 - ca. 1029) yn adeiladu arno i raddau. Yn ôl Rashed Roshdi, roedd Ibn al-Haytham cyfoeswr i Al-Karajī yn gwybod [27] beth fyddai’n cael ei alw’n 'theorem Wilson' yn ddiweddarach.

Gorllewin Ewrop yn yr Oesoedd CanolGolygu

Heblaw am draethawd ar sgwariau mewn dilyniant rhifyddeg gan Fibonacci - a deithiodd ac a astudiodd yng ngogledd Affrica a Chaercystennin - ni wnaed unrhyw theori rhif gwerth ei halen yng ngorllewin Ewrop yn ystod yr Oesoedd Canol. Dechreuodd materion newid yn Ewrop ddiwedd y Dadeni, diolch i astudiaeth o'r newydd o weithiau hynafiaeth Gwlad Groeg. Y catalydd i hyn oedd y cyfieithiad i'r Lladin o Arithmetica gan Diophantus.[28]

Damcaniaeth rhif modern cynnarGolygu

FermatGolygu

Ni chyhoeddodd Pierre de Fermat (1607–1665) ei ysgrifau erioed; yn benodol, mae ei waith ar theori rhif wedi'i gynnwys bron yn gyfan gwbl mewn llythyrau at fathemategwyr ac mewn nodiadau ymylol preifat.[29][30]

Gwnaeth Fermat y cyfraniadau canlynol i'r maes:

  • Un o ddiddordebau cyntaf Fermat oedd rhifau perffaith (sy'n ymddangos yn Euclid, Elfennau IX) a rhifau cyfeillgar (amicable numbers); arweiniodd y pynciau hyn at weithio ar rannwyr cyfanrif (integer divisors), a oedd o'r dechrau ymhlith pynciau'r ohebiaeth (1636 ymlaen) a'i rhoddodd mewn cysylltiad â chymuned fathemategol y dydd.[31]
  • Yn 1638, honnodd Fermat, heb brawf, y gellir mynegi'r holl rifau cyfan fel swm pedwar sgwâr neu lai.[32]
  • Theorem Bychan Fermat (1640): [33] os nad yw a yn rhanadwy gan rif cysefin p, yna  
  • Os yw a a b yn coprime, yna nid yw   yn rhanadwy gan unrhyw prime congruent â −1 modulo 4;[34] a gellir ysgrifennu pob rhif cysefin i 1 modwlws 4 ar y ffurf  .[35] Mae'r ddau ddatganiad hyn hefyd yn dyddio o 1640; ym 1659, nododd Fermat wrth Huygens ei fod wedi profi'r datganiad olaf trwy'r dull o ddisgyniad anfeidrol (the method of infinite descent).[36]
  • Yn 1657, cododd Fermat y broblem o ddatrys   fel her i fathemategwyr Saesneg. Datryswyd y broblem mewn ychydig fisoedd gan Wallis a Brouncker. [37] Ystyriodd Fermat bod eu datrysiad yn ddilys, ond nododd eu bod wedi darparu algorithm heb brawf (fel yr oedd Jayadeva a Bhaskara, er nad oedd Fermat yn ymwybodol o hyn). Dywedodd y gallai prawf ddod o hyd i ddisgyniad anfeidrol.
  • Nododd a phrofodd Fermat (yn ôl disgyniad anfeidrol) yn yr atodiad i Sylwadau ar Diophantus (Ars. XLV) [38] nad oes gan   atebion dibwys yn y cyfanrifau. Soniodd Fermat hefyd wrth ei ohebwyr hefyd nad oes gan   atebion dibwys, ac y gallai hyn hefyd gael ei brofi gan ddisgyniad anfeidrol.[37] Mae'r prawf cyntaf y gwyddys amdano oherwydd Euler (1753; yn wir o ddisgyniad anfeidrol).[37]
  • Honnodd Fermat (Theorem Olaf Fermat) ei fod wedi dangos nad oes unrhyw atebion i   i'r cyfan o   ; mae'r honiad hwn yn ymddangos yn ei anodiadau ar gyrion ei gopi o Diophantus.

EulerGolygu

Sbardunwyd diddordeb Leonhard Euler (1707–1783) mewn theori rhif gyntaf ym 1729, pan gyfeiriodd ffrind iddo, Goldbach, tuag at rywfaint o waith Fermat ar y pwnc.[39][40] Galwyd hyn yn "aileni" theori rhif modern,[41] oherwydd diffyg llwyddiant cymharol Fermat i ddenu ei gyfoeswyr at y pwnc.[42][43]

MeysyddGolygu

Gellir dosbarthu damcaniaeth rhifau yn sawl is-faes, yn ôl y dulliau a ddefnyddir a'r math o gwestiynau sy'n cael eu hymchwilio:

Damcaniaeth elfennol rhifauGolygu

Astudiaeth o'r cyfanrifau heb ddefnyddio dulliau o ganghennau eraill o fathemateg. Dyma rhai o'r pethau a astudir:

Er ei fod yn bosib mynegi rhai o broblemau mawr damcaniaeth rhifau o fewn damcaniaeth rhifau elfennol, yn aml mae angen dulliau a dealltwriaeth dwfn o feysydd eraill i'w datrus. Mae theorem olaf Fermat yn enghraifft o hyn. Mae'r term elfennol yn gyffredinol yn dynodi dull nad yw'n defnyddio dadansoddiad cymhlyg. Er enghraifft, profwyd y theorem rhif cysefin gyntaf gan ddefnyddio dadansoddiad cymhlyg ym 1896, ond, ym 1949 gan Erdős a Selberg y canfuwyd prawf elfennol cyntaf.[44] Mae'r term ychydig yn amwys: er enghraifft, mae proflenni sy'n seiliedig ar theoremau Tauberiaidd cymhlyg (er enghraifft, Wiener-Ikehara) yn aml yn cael eu hystyried yn eithaf goleuedig ond nid yn elfennol, er gwaethaf defnyddio dadansoddiad Fourier, yn hytrach na dadansoddiad cymhlyg fel y cyfryw. Yma fel mewn mannau eraill, gall prawf elfennol fod yn hirach ac yn anoddach i'r mwyafrif o ddarllenwyr nag un nad yw'n elfennol.

 
Damcaniaethwyr rhif Paul Erdős a Terence Tao ym 1985, pan oedd Erdős yn 72 a Tao yn 10 oed.

Mae gan damcaniaeth rhif enw da o fod yn faes y gellir nodi llawer o'i ganlyniadau i'r lleygwr. Ar yr un pryd, nid yw proflenni'r canlyniadau hyn yn arbennig o hygyrch, yn rhannol oherwydd bod yr ystod o offer y maent yn eu defnyddio, os rhywbeth, yn anarferol o eang o fewn mathemateg.[45]

Damcaniaeth rhif dadansoddolGolygu

 
Ffwythiant Riemann zeta ζ ( s ) yn yr plân cymhlyg. Mae lliw pwynt s yn rhoi gwerth ζ ( s ): mae lliwiau tywyll yn dynodi gwerthoedd sy'n agos at sero ac mae lliw yn rhoi dadl y gwerth.

Gellir diffinio theori rhifau dadansoddol

  • o ran ei offer, fel astudiaeth o'r cyfanrifau trwy offer o ddadansoddiad real a chymhlyg;[46] neu
  • o ran ei bryderon, fel yr astudiaeth o fewn theori rhif amcangyfrifon ar faint a dwysedd, yn hytrach nag unfathiant.[47]

Mae rhai pynciau yr ystyrir yn gyffredinol eu bod yn rhan o theori rhifau dadansoddol, er enghraifft, theori gogr, yn cael eu cynnwys yn well gan yr ail yn hytrach na'r diffiniad cyntaf: er enghraifft, ychydig o ddadansoddiad y mae rhai o theori rhidyll yn ei ddefnyddio, ac eto mae'n perthyn i theori rhifau dadansoddol.

Mae damcaniaeth dadansoddol rhifau yn defnyddio dulliau o galcwlws a dadansoddi cymhlyg i ymafael â phroblemau sy'n ymwneud a'r cyfanrifau.

Damcaniaeth algebreaidd rhifauGolygu

Yn y maes hwn, estynir y cysyniad o rif i gynnwys rhifau algebreaidd, sef gwreiddiau polynomialau sydd â chyfernodau cyfanrifol. Ceir rhifau algebreaidd sy'n ymddwyn yn debyg i gyfanrifau, y cyfanrifau algebreaidd.

Damcaniaeth geometregol rhifauGolygu

Damcaniaeth gyfuniadeddol rhifauGolygu

Damcaniaeth rhifau gyfrifiadurolGolygu

Gellir defnyddio algorithmau cyfrifiadurol perthnasol i gynorthwyo astudiaeth o damcaniaeth rhifau. Ceir cymhwysiad pwysig o rhai algorithmau wrth ceisio creu a thorri codau, algorithmau chwim i brofi rhifau cysefin a ffactori rhifau mawr er enghraifft.

CyfeiriadauGolygu

  1. Long 1972, t. 1.
  2. Neugebauer & Sachs 1945, t. 40. The term takiltum is problematic. Robson prefers the rendering "The holding-square of the diagonal from which 1 is torn out, so that the short side comes up...".Robson 2001, t. 192
  3. Robson 2001, t. 189. Other sources give the modern formula  . Van der Waerden gives both the modern formula and what amounts to the form preferred by Robson.(van der Waerden 1961, p. 79)
  4. van der Waerden 1961, t. 184.
  5. Neugebauer (Neugebauer 1969) discusses the table in detail and mentions in passing Euclid's method in modern notation (Neugebauer 1969, p. 39).
  6. Friberg 1981, t. 302.
  7. van der Waerden 1961, t. 43.
  8. Heath 1921, t. 76.
  9. Sunzi Suanjing, Chapter 3, Problem 26. This can be found in Lam & Ang 2004, tt. 219–20, which contains a full translation of the Suan Ching (based on Qian 1963). See also the discussion in Lam & Ang 2004, tt. 138–140.
  10. The date of the text has been narrowed down to 220–420 CE (Yan Dunjie) or 280–473 CE (Wang Ling) through internal evidence (= taxation systems assumed in the text). See Lam & Ang 2004, tt. 27–28.
  11. Boyer & Merzbach 1991, t. 82.
  12. "Eusebius of Caesarea: Praeparatio Evangelica (Preparation for the Gospel). Tr. E.H. Gifford (1903) – Book 10".
  13. Metaphysics, 1.6.1 (987a)
  14. Tusc. Disput. 1.17.39.
  15. Vardi 1998, tt. 305–19.
  16. Weil 1984, tt. 17–24.
  17. 17.0 17.1 Plofker 2008, t. 119.
  18. Any early contact between Babylonian and Indian mathematics remains conjectural (Plofker 2008, p. 42).
  19. Mumford 2010, t. 387.
  20. Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Chapter 2, verses 32–33, cited in: Plofker 2008. See also Clark 1930. A slightly more explicit description of the kuṭṭaka was later given in Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, XVIII, 3–5 (in Colebrooke 1817, t. 325, cited in Clark 1930, t. 42).
  21. Mumford 2010, t. 388.
  22. Plofker 2008, t. 194.
  23. Plofker 2008, t. 283.
  24. Colebrooke 1817.
  25. Colebrooke 1817, cited in Hopkins 1990. See also the preface in Sachau 1888 cited in Smith 1958, tt. 168
  26. Pingree 1968, tt. 97–125, and Pingree 1970, tt. 103–23, cited in Plofker 2008.
  27. Rashed 1980, tt. 305–21.
  28. Bachet, 1621, following a first attempt by Xylander, 1575
  29. Weil 1984, tt. 45–46.
  30. Weil 1984. This was more so in number theory than in other areas (remark in Mahoney 1994). Bachet's own proofs were "ludicrously clumsy" (Weil 1984).
  31. Mahoney 1994. The initial subjects of Fermat's correspondence included divisors ("aliquot parts") and many subjects outside number theory; see the list in the letter from Fermat to Roberval, 22.IX.1636, Tannery & Henry 1891, Vol. II, pp. 72, 74, cited in Mahoney 1994.
  32. Faulkner, Nicholas; Hosch, William L. (2017-12-15). Numbers and Measurements (yn Saesneg). Encyclopaedia Britannica. ISBN 9781538300428.
  33. Tannery & Henry 1891, Vol. II, p. 209, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in Weil 1984
  34. Tannery & Henry 1891, Vol. II, p. 204, cited in Weil 1984. All of the following citations from Fermat's Varia Opera are taken from Weil 1984, Chap. II. The standard Tannery & Henry work includes a revision of Fermat's posthumous Varia Opera Mathematica originally prepared by his son (Fermat 1679).
  35. Tannery & Henry 1891, Vol. II, p. 213.
  36. Tannery & Henry 1891, Vol. II, p. 423.
  37. 37.0 37.1 37.2 Weil 1984.
  38. Tannery & Henry 1891, Vol. I, pp. 340–41.
  39. Weil 1984, tt. 2, 172.
  40. Varadarajan 2006.
  41. Weil 1984, tt. 1–2.
  42. Weil 1984 and Varadarajan 2006
  43. Varadarajan 2006 and Weil 1984, tt. 176–89
  44. Goldfeld 2003.
  45. See, for example, the initial comment in Iwaniec & Kowalski 2004.
  46. Apostol 1976, t. 7.
  47. Granville 2008: "The main difference is that in algebraic number theory [...] one typically considers questions with answers that are given by exact formulas, whereas in analytic number theory [...] one looks for good approximations."