Dosraniad normal

Mae'r dosraniad normal, neu dosraniad Gauss, fel y'i gelwir, yn ddosraniad tebygolrwydd sy'n bwysig mewn sawl maes. Mewn gwirionedd, teulu o ddosraniadau o'r un ffurf ydyw, pob un â gwahanol paramedrau lleoliad a graddfa: y cymedr a'r gwyriad safonol yn ôl eu trefn. Y dosraniad normal safonol yw'r dosraniad normal â chymedr yn hafal i ddim, a gwyriad safonol yn hafal i un. Fe debygir siap ei ffwythiant dwysedd tebygolrwydd i gloch.

Dosraniad normal

Math	Tweedie distribution, Student's t-distribution, multivariate normal distribution, exponential family, skew normal distribution, stable distribution, contaminated normal distribution, univariate probability distribution, continuous probability distribution
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Mae'r dosraniad normal yn fodel cyfleus o ffenomena rhifadwy yn y gwyddoniaethau naturiol ac yn y gwyddoniaethau cymdeithasol. Er enghraifft, darganfyddir fod y dosraniad normal yn amcangyfrifiad agos i ystod eang o ganlyniadau profion seicolegol, a ffenomena ffisegol megis cyfrifon ffotonau. Yn aml, ni ddeallir achosion y ffenomena dan sylw; ond fe ellir rhoi gyfiawnhâd damcaniaethol mewn sefyllfäoedd lle caiff llawer iawn o effeithiau bach eu hadio at ei gilydd i greu'r sgôr neu newidyn sy'n cael ei arsylwi. Cyfyd y dosraniad normal yn aml mewn sawl ardal o ystadegath hefyd: er enghraifft, mae dosraniad samplu y cymedr yn led-normal, hyd yn oed os nad yw dosraniad y boblogaeth y gymerir y sampl ohono yn normal. Yn ogystal, mae'r dosraniad normal yn uchafu'r entropi gwybodaeth yn y dosraniadau â'r un cymedr ac amrywiant, sy'n ei wneud yn ddewis priodol o ddosraniad ar fyfer data, lle rydym ni'n gwybod dim ond y cymedr a'r amrywiant. Y dosraniad normal yw'r teulu o ddosraniadau a defnyddir amlach mewn ystadegaeth, ac fe seilir sawl prawf ystadegol ar ddamcaniaeth o normaledd. Mewn tebygolrwydd haniaethol, cyfyd dosraniadau normal fel dosraniadau terfanol sawl teulu o ddosraniadau di-dor ac arwahanol.

Ffwythiant dwysedd tebygolrwydd

Mae Ffwythiant dwysedd tebygolrwydd dosraniad normal â chymedr $\mu$ ac amrywiant $\sigma ^{2}$ (yn gyfystyr, gwyriad safonol $\sigma$) yn enghraifft o Fwythiant Gaussaidd

$f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).$

(gw. hefyd ffwythiant esbonyddol a pi.)

Os oes gan hap-newidyn $X$ y dosraniad hwn, ysgrifenwn $X$ ~ $N(\mu ,\sigma ^{2})$. Os mae $\mu =0$ a $\sigma =1$, yna fe gelwir y dosraniad yn ddosraniad normal safonol, ac mae'r ffwythiant dwysedd tebygolrwydd yn symleiddio i:

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right).$

Rhai o rinweddau nodweddol y dosraniad normal:

• Mae'r ffwythiant dwysedd tebygolrwydd yn gymesyr o gylch ei werth cymedrol.
• Mae'r cymedr yn hafal i'w modd a'i ganolrif.
• Mae 68.268949% o'r arwynebedd is y graff o fewn un gwyriad safonol i'r cymedr.
• Mae 95.449974% o'r arwynebedd o fewn dau wiriad safonol.
• Mae 99.730020% o'r arwynebedd o fewn tri gwyriad safonol.
• Mae 99.993666% o'r arwynebedd o fewn pedwar gwyriad safonol.
• Mae pwyntiau ymdreiglad y cromlin un gwyriad safonol yn union o'r cymedr.

Ffwythiant dosraniad cronnus

Diffinnir ffwythiant dosrnaiad cronnus fel y tebygolrwydd fod gan hap-newidyn $X$ gwerth sy'n llai na neu'n hafal i $x$, ac fe'i mynegir yn nhermau'r ffwythiant dwysedd tebygolrwydd fel a ganlyn:

$F(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {(u-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\ \right)\,du.$

Ar gyfer ffwythiant dosraniad cronnus normal safonol, a dynodir gan $\Phi$, gwerthyswn y fformwla cyffredinol lle mae $\mu =0$ a $\sigma =1$,

$\Phi (x)=F(x;0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.$

Gellir mynegi'r ffwythiant uchod yn nhermau ffwythiant arbennig, y ffwythiant cyfeiliornad erf , fel a ganlyn

$\Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right].$