Elipsoid

Gwrthrych geometrig yw elipsoid (enw gwrywaidd), sy'n arwyneb y gellir ei gael o sffêr drwy ei ddadffurfio i wahanol gyfeiriadau, neu'n fwy cyffredinol, drwy drawsffurfiad affin.

Enghreifftiau o elipsoidau, gyda'r hafaliad ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1:$
sffêr (top, a=b=c=4),
sfferoid (gwaelod chwith, a=b=5, c=3),
3-echelinol elipsoid (gwaelod dde, a=4.5, b=6, c=3)

Mae ganddo arwyneb cwadrig ac mae ganddo un o'r ddwy nodwedd ganlynol:

1. Mae pob croestoriad planar naill ai'n elíps, neu'n wag, neu'n cael ei leihau i un pwynt (mae hyn yn esbonio'r enw, sy'n golygu "tebyg i elíps").
2. Mae ganddo ffin, sy'n golygu y gellir ei amgáu mewn sffêr digon mawr.

Mae gan yr elipsoid dair echelin cymesuredd perpendicwlar sy'n groesi yng nghanol y cymesuredd, a elwir yn "ganol yr elipsoid". Gelwir y segmentau llinell sy'n amffinio ar yr echeliniau cymesuredd gan yr elipsoid yn "brif echeliniau" neu yn "echeliniau'r elipsoid". Os oes gan y tair echelin wahanol hyd, yna dywedir bod yr elipsoid yn "3-echelinol" neu yn "anghyfochrog", ac mae'r echeliniau wedi'u diffinio'n unigryw.

Os oes gan ddau o'r echelinau hyn yr un hyd, yna mae'r elipsoid yn "elipsoid tro" (neu "elipsoid cylchdro"), a elwir hefyd yn sfferoid. Yn yr achos hwn, mae'r elipsoid dan gylchdro o gwmpas y trydydd echelin, ac felly mae yna lawer o ffyrdd o ddewis y ddau echelin perpendicwlar o'r un hyd.

Yr hafaliad safonol

Drwy ddefnyddio'r system gyfesurynnol Cartesaidd, lle mae'r tarddiad yn ganol yr elipsoid, a'r echelinau cyfesurynnol yw echelinau'r elipsoid, yna mae gan hafaliad ymhlyg (implicit equation) yr elipsoid yr hafaliad canlynol:

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1,$

lle mae a, b, c yn bositif (rhifau real).

Mae'r pwynt (a, 0, 0), (0, b, 0) a (0, 0, c) yn gorwedd ar yr arwyneb. Gelwir y segment llinell o'r tarddiad i'r pwyntiau hyn yn "brif ran-echelin" (principal semi-axes) yr elipsoid, oherwydd y mae a, b, c yn hanner hyd y prif echelin.