Agor y brif ddewislen
Diagram dau ddimensiwn o sffêr.

Mae sffêr (enw gwrywaidd; o'r Groeg σφαῖρα - sphaira, "pelen") yn wrthrych geometrig perffaith mewn gofod tri dimensiwn; dyma wyneb pêl cwbwl gron sy'n cyfateb yn nhermau dau ddimensiwn i gylch.[1]

Fel cylch mewn gofod dau ddimensiwn, diffinnir sffêr yn fathemategol fel y set o bwyntiau sydd i gyd ar yr un pellter r o bwynt penodol, ond mewn man tri dimensiwn.[2] Y pellter r yw radiws y bêl, sydd wedi'i ffurfio o bob pwynt gyda pellter llai na r o'r pwynt a roddir, sef canolbwynt / canol y bêl fathemategol. Cyfeirir at y rhain hefyd fel "y radiws" a "chanol y cylch". Mae'r linell syth hiraf drwy'r bêl, sy'n cysylltu dwy bwynt y sffêr, yn mynd trwy'r canol gyda'i hyd, felly, ddwywaith y radiws; dyma "ddiamedr" y sffêr a'i bêl.

Ar y cae pêl-droed a mannau eraill y tu allan i fyd mathemateg, caiff y ddau air 'sffêr' a 'phêl eu cyfnewid a'u camddefnyddio'n aml. O fewn mathemateg, perchir y gwahaniaeth, lle mae sffêr yn arwyneb caeedig dau ddimensiwn, wedi'i fewnosod mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn, ac ar y llaw arall, mae'r bêl yn siâp tri dimensiwn sy'n cynnwys y sffêr a phopeth y tu mewn i'r sffêr (pêl caeedig), neu, yn amlach, dim ond y pwyntiau y tu mewn, ond nid ar y sffêr (pêl agored). Nid yw'r gwahaniaeth hwn bob amser wedi'i gynnal, yn enwedig mae hen gyfeiriadau mathemategol lle ddisgrifir sffêr yn wrthrych solat. Mae hyn yn debyg i'r sefyllfa yn y plân, lle mae'r termau "cylch" a "disg" hefyd cael eu camddefnyddio.


Cynnwys

Hafaliadau yn y gofod tri dimensiwnGolygu

 
Dau radiws sffêr

Mewn geometreg dadansoddol, mae sffêr sydd a'i ganol (x0, y0, z0) a'i radiws r yn locws i holl bwyntiau (x, y, z), fel bod

 

Gadewch i a, b, c, d, e fod yn rhifau real, gyda a ≠ 0, a rhowch

 

yna, nid oes gan yr hafaliad

 

unrhyw bwyntiau real fel datrysiadau os  , ac fe'i gelwir yn "sffêr dychmygol".

Os   yna'r unig ddatrusiad o   yw'r pwynt   a dywedir bod yr hafaliad yn "hafaliad y sffêr pwynt". Yn olaf, yn achos  , yna   yw hafaliad y sffêr sydd a'i ganol yn   a'i radiws yn  .[2]

Os yw a yn yr hafaliad uchod yn sero, yna f(x, y, z) = 0 yw hafaliad y plân. Felly, gellir ystyried plân yn fath o sffêr gyda radiws anfeidraidd, sydd a'i ganolbwynt yn "bwynt anfeidraidd" (point at infinity).[3]

Gellir rhoi pwyntiau sffêr gyda radiws   a'i ganol   ar baramedr, drwy:

 [4]

Mae sffêr gyda'i radiws wedi'i ganoli ar sero yn arwyneb integrol o'r ffurf wahaniaethol ganlynol:

 

Mae'r hafaliad hwn yn adlewyrchu safle a fectorau cyflymder pwynt, (x, y, z) a (dx, dy, dz), sy'n teithio ar y sffêr, ac sydd bob amser yn orthogonol i'w gilydd.


Cyfaint mewnolGolygu

 
Sffêr (mewn coch), gyda'i silindr amgylchol (mewn glas golau).

Mewn gofod tri dimesniwn, mae cyfaint oddi mewn i sffêr (sef cyfaint pêl) yn:

 

lle mae r yn radiws y sffêr. Archimedes a luniodd y fformiwla hon yn gyntaf, gan fynegi fod y cyfaint y tu mewn i sffêr ddwywaith y gwahaniaeth cyfaint y sffêr a chyfaint y silindr sy'n ei amgylchynu.

Yn fyr, gellir canfod fformiwla ei gyfaint drwy ddefnyddio cyfesurynnau sfferig, gydag elfennau'r cyfaint yn

 

fel bod

 

Yn ymarferol, ac fel brasamcan, mae cyfaint mewnol sffêr yn 52.4% o gyfaint y ciwb, gan fod V = π/6 d3, ble d yw diametr y sffêr a hyd ochr y ciwb a π/6 ≈ 0.5236. Er enghraifft, mae gan sffêr gyda diamedr o 1 fetr 52.4% o gyfaint y ciwb sydd a hyd ei ymylon yn 1 fetr, neu tua 0.524 m3.

ArwynebeddGolygu

Arwynebedd sffêr gyda'i radiws yn r yw:

 

CyfeiriadauGolygu

  1. σφαῖρα, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
  2. 2.0 2.1 Albert 2016, p. 54
  3. Woods 1961, p. 266
  4. Kreyszig (1972, p. 342)