Pŵer perffaith

Mewn mathemateg, cyfanrif positif yw pŵer perffaith a ellir ei fynegi fel pŵer cyfanrif o gyfanrif positif arall. Yn fwy ffurfiol fyth: n yw'r pŵer perffaith os oes rhifau naturiol m > 1, a k > 1 yn bodoli, fel bod m^k = n. Yn yr achos yma, gellir galw n y kfed pŵer perffaith. Os yw k = 2 neu k = 3, yna gelwir n y "sgwâr perffaith" neu'r "ciwb perffaith", yn y drefn honno. Weithiau, caiff 1 ei ystyried yn bŵer perffaith (1^k = 1 am bob k).

Diagram yn dangos rhodenni Cuisenaire, o natur y pwerau perffaith 4, 8, a 9.

Enghreifftiau

Gellir cynhyrchu cyfres o bwerau perffaith drwy adrifo (neu ailadrodd) y gwerthoedd ar gyfer m a k. Y pwerau perffaith cyntaf, gan ddangos pwerau dyblyg, yw (cyfres A072103 yn yr On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)):

$2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,$ $2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots$

Cyfanswm cilyddion (reciprocals) y pwerau perffaith, gan gynnwys dyblygiadau megis 3⁴ a 9², yw 1:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.$

a gellir profi hyn fel a ganlyn:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.$

Y pwerau perffaith cyntaf heb ddyblygiadau yw:

(weithiau 0 a 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (cyfres A001597 yn yr On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS))

Cyfanswm cilyddion y pwerau perffaith p, heb ddyblygiadau yw:

$\sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots$

lle dynodir μ(k) fel ffwythiant Möbius a ζ(k) fel ffwythiant Riemann zeta.

Yn ôl Euler, dangosodd Goldbach mewn llythyr sydd bellach ar goll fod cyfanswm 1/p − 1 dros y set o bwerau perffaith p, heb gynnwys 1 na'r dyblygiadau, yw 1:

$\sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.$

Gelwir hyn, fel arfer, yn "theorem Goldbach–Euler".

Cyfeiriadau

• Daniel J. Bernstein (1998). "Detecting perfect powers in essentially linear time". Mathematics of Computation 67 (223): 1253–1283. doi:10.1090/S0025-5718-98-00952-1. http://cr.yp.to/papers/powers-ams.pdf.