Anfeidredd

(Ailgyfeiriad oddi wrth Anfeidraidd)

Mewn mathemateg, mae anfeidredd yn gysyniad sy'n cyfleu rhif sy'n rhy fawr i fedru ei gyfri. Ysgrifennir yr anfeidredd gyda'r symbol . Fe'i defnyddir yn aml o fewn calcwlws a theori setiau, ac fe'i defnyddir hefyd mewn ffiseg a gwyddoniaethau eraill. Mae 'setiau anfeidraidd' yn rhan o'r maes hwn. Yr hyn sy'n groes i anfeidredd o fewn mathemateg yw 'meidraidd' e.e. rhifau naturiol a rhifau real.

Infinite.svg
Symbol mathemategol o'r anfeidredd.
Data cyffredinol
Enghraifft o'r canlynolcysyniad mathemategol Edit this on Wikidata
Mathcardinality Edit this on Wikidata
Tudalen Comin Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Ffurfiodd Georg Cantor lawer o gysyniadau yn ymwneud ag anfeidredd a setiau anfeidraidd yn ystod diwedd y 19g a dechrau'r 20g. Yn y theori a ddatblygodd, mae setiau anfedraidd o wahanol feintiau (o'r enw prifoledd neu cardinalities).[1]

Mae'r cysyniad mathemategol o anfeidredd yn mireinio ac yn ymestyn yr hen gysyniad athronyddol, yn benodol trwy gyflwyno anfeidredd lawer o wahanol feintiau o setiau anfeidrol. Ymhlith gwirebau theori set Zermelo-Fraenkel, y gellir datblygu'r rhan fwyaf o fathemateg fodern arni, mae gwireb anfeidredd, sy'n gwarantu bodolaeth setiau anfeidrol.[2] Defnyddir y cysyniad mathemategol o anfeidredd a thrin setiau anfeidrol ym mhob rhan o fathemateg, hyd yn oed mewn meysydd fel cyfuniadeg, a gall ymddangos ar yr olwg cyntaf nad oes ganddynt unrhyw beth i'w wneud â nhw. Er enghraifft, mae prawf Wiles o Theorem Olaf Fermat yn dibynnu'n llwyr ar fodolaeth setiau anfeidrol mawr iawn [3] i'w datrys problem. Mewn ffiseg a chosmoleg, mae'r cwestiwn p'un a yw'r Bydysawd yn anfeidrol yn gwestiwn agored.

Roedd gan rai o'r diwylliannau hynafol eraill syniadau amrywiol am natur anfeidredd. Nid oedd yr Indiaid a'r Groegiaid hynafol yn diffinio anfeidredd yn ffurfiol, fel y mae mathemateg fodern yn ei wneud, ac ond hytrach roeddent yn cyfeirio at anfeidredd fel cysyniad athronyddol.

Efallai mai'r syniad cynharaf a gofnodwyd o anfeidredd yw syniad Anaximandros (tua 610 - tua 546 CC) athronydd Groegaidd cyn-Socratig. Defnyddiodd y gair apeiron, sy'n golygu "heb ei rwymo", "amhenodol", ac efallai y gellir ei gyfieithu fel 'anfeidrol'.[2][4]

Roedd Aristotle (350 CC) yn gwahaniaethu rhwng anfeidredd posibl ac anfeidredd gwirioneddol - a oedd yn ei ystyried yn amhosibl oherwydd yr amrywiol baradocsau yr oedd yn ymddangos eu bod yn eu cynhyrchu.[5] Dadleuwyd, yn unol â'r farn hon, fod gan y Groegiaid Hellenistig "arswyd o'r anfeidrol"[6][7] a fyddai, er enghraifft, yn egluro pam na ddywedodd Euclid (tua 300 CC) fod yna anfeidredd o rifau cysefin ond yn hytrach "Mae rhifau cysefin yn fwy nag unrhyw luoswm o grwpiau o rifau cysefin."[8] Dywedwyd hefyd, wrth brofi anfeidredd y rhifau cysefin, mai Euclid "oedd y cyntaf i oresgyn arswyd yr anfeidrol".[9]

GeirdarddiadGolygu

Daw'r term anfeidraidd o'r hen air Cymraeg 'meidrol', sef (gweler Geiriadur Prifysgol Cymru): Ac iddo derfyn(au) neu gyfyngiad(au), terfynedig (yn enw. am ddyn a’i gyneddfau); mesuradwy. Hynny yw, yr hyn a ellir ei fesur.[10] Felly, anfidrol, neu'r hyn na ellir ei fesur yw anfeidraidd.

Mae'r ystyr yma i'r gair i'w gael fel cofnod o fewn Geiriadur John Davies, 1632: meidrol, non immensus, finitus. Ystyr arall i'r gair 'meidrol' yw: cryf, cadarn, nerthol, galluog a cheir cofnod o'r ystyr hwn yn y 13g. Bôn y gair yw'r ferf "medraf", "medru".

Setiau meidraiddGolygu

  Prif erthygl: setiau meidraidd

Mewn mathemateg, set gyda nifer meidraidd o elfennau yw set feidraidd. Yn anffurfiol, mae hefyd yn set y gellir, yn mewn egwyddor gyfri pob elfen o'r set. Er enghraifft, mae

 

yn set feidraidd gyda phump elfen. Mae'r nifer o elfennau mewn set yn rhif naturiol (cyfanrif di-negatif) ac fe'i gelwir yn "prifoledd y set" (cardinality of the set). Gelwir set nad yw'n feidraidd yn "anfeidraidd". Er enghraifft, mae'r set o bob cyfanrif positif yn anfeidraidd:

 

Mae setiau meidraidd yn hynod o bwysig mewn cyfuniadeg, sef yr astudiaeth o gyfrif.

HanesGolygu

Fe'i ceir mewn symbolau Celtaidd, fel y sbiral a sawl gwareiddiad arall, ond cyfeiriad yma sydd at yr enaid a duwiau yn byw am byth, yn hytrach na rhifau. Mae bywyd heb henaint fel a geir yn Afallon yn enghraifft arall.

Rhywbeth tebyg i hyn oedd gan y wr Anaximander (c. 610 – c. 546 CC) a defnyddiai'r gair 'Apeiron' (πεῖραρ peirar, "heb ffiniau") i gyfleu anfeidredd; credodd fod realaeth yn ddi-ffinau, yn afeidrol. Mae'n bosib fod ei syniadau wedi dylanwadu'n ddiweddarach ar Pythagoras.

Awgrymodd Zeno o Elea (490 – c. 430 CC) sawl damcaniaeth am anfeidredd rhifau a datblygodd Eudoxus o Cnidus (390 – c. 337 BC) y cysyniad o anfeidredd rhifau bach.

Zeno: Achilles a'r crwbanGolygu

Fel y nodwyd, ni chyflwynodd Zeno o Elea ( c. 495 - c. 430 CC) unrhyw farn ynghylch anfeidredd. Serch hynny, roedd ei baradocsau, [11] yn enwedig y chwedl "Achilles a'r Crwban", yn gyfraniadau pwysig gan eu bod yn egluro mor annigonol oedd cysyniadau'r Oes. Disgrifiwyd y paradocsau gan Bertrand Russell fel rhai "hynod gynnil a dwys". [12]

Mewn un stori gan Zeno, mae Achilles yn rasio crwban, gan roi cychwyn da i'r olaf.

Cam # 1: Mae Achilles yn rhedeg i fan cychwyn y crwban tra bod y crwban yn cerdded ymlaen.
Cam # 2: Mae Achilles yn symud ymlaen i ble roedd y crwban ar ddiwedd Cam # 1 tra bod y crwban yn mynd ymhellach fyth.
Cam # 3: Mae Achilles yn symud ymlaen i ble roedd y crwban ar ddiwedd Cam # 2 tra bod y crwban yn mynd ymhellach fyth.
Cam # 4: Mae Achilles yn symud ymlaen i ble roedd y crwban ar ddiwedd Cam # 3 tra bod y crwban yn mynd ymhellach fyth.

ayb.

Yn ôl pob tebyg, nid yw Achilles byth yn goddiweddyd y crwban, oherwydd faint bynnag o gamau y mae'n eu cwblhau, mae'r crwban yn parhau o'i flaen. Rhywbeth fel hyn sydd yn y stori Pwyll a Rhiannon yn y Mabinogi.

Nid oedd Zeno yn ceisio gwneud pwynt am anfeidredd. Fel aelod o'r ysgol Eleatics a oedd yn ystyried symudiad fel rhith, roedd yn ei ystyried yn gamgymeriad i dybio y gallai Achilles redeg o gwbl. Dadleuodd meddylwyr dilynol, gyda'i gilydd am ddwy fileniwm, gan geisio gweld tyllau yn chwedl Zeno.


O'r diwedd, ym 1821, darparodd Augustin-Louis Cauchy ddiffiniad boddhaol o derfyn a phrawf, ar gyfer 0 < x <1 ,

 .[13]

Tybiwch fod Achilles yn rhedeg ar 10 metr yr eiliad, mae'r crwban yn cerdded ar 0.1 metr yr eiliad, ac mae'r crwban 100-metr ar y blaen ar ddechrau'r ras. Mae hyd y hela yn ffitio patrwm Cauchy gyda a = 10 eiliad ac x = 0.01. Nid yw Achilles yn goddiweddyd y crwban; mae'n cymryd

 

India CynnarGolygu

Mae testun mathemategol Jain, y Surya Prajnapti (tua 4ydd-3edd ganrif OC) yn dosbarthu'r holl rifau yn dair set: rhifadwy (enumerable), aneirif (innumerable) ac anfeidrol. Rhannwyd pob un o'r rhain ymhellach yn dri gorchymyn: [14]

  • rhifadwy: isaf, canolradd, ac uchaf
  • aneirif: bron yn aneirif, gwirioneddol aneirif, ac aneirif dinifer (innumerably innumerable)
  • Anfeidrol: bron yn anfeidrol, yn wirioneddol anfeidrol, yn anfeidrol o anfeidrol

17fed ganrifGolygu

Yn yr 17g, dechreuodd mathemategwyr Ewropeaidd ddefnyddio rhifau anfeidrol ac ymadroddion anfeidrol mewn modd systematig. Yn 1655, defnyddiodd John Wallis y nodiant gyntaf   am y fath nifer yn ei De sectionibus conicis,[15] a'i ddefnyddio wrth gyfrifo arwynebedd trwy rannu'r rhanbarth yn stribedi anfeidrol o led yn y drefn  [16] Ond yn Arithmetica infinitorum (hefyd yn 1655), mae'n nodi cyfresi anfeidrol, cynhyrchion anfeidrol a ffracsiynau parhaus anfeidrol trwy ysgrifennu ychydig o dermau neu ffactorau ac yna atodi "& c.", Fel yn "1, 6, 12, 18, 24, & c. " [17] Gair Cymraeg yw tarddiad yr enw Wallis, ond yng Nghaint, Lloegr y ganwyd John Wallis, mae'n debyg.[18][19]

Cyfoeswr i Wallis oedd Isaac Newton a sgwennodd am hafaliadau â nifer anfeidrol o dermau yn ei waith De analysi per aequationes numero terminorum infinitas yn 1699.[20]

MathemategGolygu

Agorodd Hermann Weyl ei anerchiad mathemategol-athronyddol a roddwyd ym 1930 gyda'r geiriau:[21]

'Mathemateg yw Gyddoniaeth o'r Anfeidredd

SymbolGolygu

Fe’i defnyddir y tu allan i fathemateg mewn cyfriniaeth fodern a symboliaeth lenyddol.[22][23]

CalcwlwsGolygu

Bu Gottfried Leibniz, un o gyd-ddyfeiswyr calcwlws anfeidrol, yn dyfalu'n helaeth am rifau anfeidrol a'u defnydd mewn mathemateg. I Leibniz, roedd anfeidrolion a meintiau anfeidrol yn endidau delfrydol, nid o'r un natur â meintiau gwerthfawr, ond yn mwynhau'r un priodweddau yn unol â Deddf Parhad (Law of Continuity).[24]

Dadansoddiad realGolygu

Mewn dadansoddiad real, defnyddir y symbol  , o'r enw "anfeidredd", i ddynodi terfyn diderfyn.[25] Golyga'r nodiant   fod   yn cynyddu heb gyfyngiad, a golyga   fod    yn lleihau heb gyfyngiad. Er enghraifft, os   am bob  , yna mae[26]

  •   yn golygu nad yw   ddim yn cyfyngu arwynebedd meidraidd o   i  
  •   yn golygu bod yr ardal o dan   yn anfeidrol.
  •   yn golygu bod cyfanswm yr arwynebedd o dan   yn feidrol, ac yn hafal i  

Gellir defnyddio anfeidredd hefyd i ddisgrifio cyfresi anfeidrol, fel a ganlyn:

  •   sy'n golygu bod swm y gyfres anfeidrol yn cydgyfeirio i ryw werth real  
  •   sy'n golygu bod swm y gyfres anfeidrol yn gwyro'n briodol i anfeidredd, yn yr ystyr bod y symiau rhannol yn cynyddu heb gyfyngiad.[27]
 
Trwy dafluniad stereograffig, gellir "lapio'r" plân cymhlyg ar sffêr, gyda phwynt uchaf y sffêr yn cyfateb i anfeidredd. Gelwir hyn yn sffêr Riemann.

Mewn dadansoddiad cymhlyg mae'r symbol  , yn dynodi terfyn anfeidrol heb ei arwyddo. Golyga   bod y maint    yn tyfu y tu hwnt i unrhyw werth penodedig. Gellir ychwanegu pwynt wedi'i labelu   at y plân cymhlyg fel gofod topolegol sy'n rhoi crynhoad un pwynt y plân cymhlyg.[28] Pan wneir hyn, mae'r gofod sy'n deillio o hyn yn faniffold cymhlyg un dimensiwn, neu arwyneb Riemann, a elwir yn blân cymhlyg estynedig neu'n sffêr Riemann. Gellir diffinio gweithrediadau rhifyddeg tebyg i'r rhai a roddir uchod ar gyfer y rhifau real estynedig hefyd, er nad oes unrhyw wahaniaeth yn yr arwyddion (sy'n arwain at yr un eithriad na ellir ychwanegu anfeidredd ato'i hun). Ar y llaw arall, mae'r math hwn o anfeidredd yn galluogi rhannu â sero, sef   ar gyfer unrhyw rif cymhlyg di-sero  . Yn y cyd-destun hwn, mae'n aml yn ddefnyddiol ystyried ffwuthiannau meromorffig fel mapiau y tu mewn i sffêr Riemann gan gymryd gwerth   wrth y pegynnau. Gellir ymestyn parth ffwythiant â gwerth cymhlyg i gynnwys y pwynt anfeidredd hefyd. Un enghraifft bwysig o ffwythiannau o'r fath yw'r grŵp o drawsnewidiadau Möbius.

Dadansoddiad ansafonolGolygu

 
Anfeidrolion (ε) ac anfeidredd (ω) ar y llinell rif uwchreal (1 / ε = ω / 1)

Defnyddiwyd ffurfiant gwreiddiol calcwlws anfeidaidd (gan Isaac Newton a Gottfried Leibniz) feintiau gorfychan (infitesimal). Yn yr 20g, dangoswyd y gellid rhoi'r driniaeth hon ar sylfaen drylwyr trwy amrywiol systemau rhesymegol, gan gynnwys dadansoddiad o'r gorfychanion llyfn a dadansoddiad ansafonol. Yn yr olaf, mae'r gorfychanion yn anadferadwy, ac mae eu gwrthdroadau yn rhifau anfeidrol. Mae'r anfeidredd yn yr ystyr hwn yn rhan o faes uwchreal; nid oes cywerthedd rhyngddynt ag yn yr un modd â thrawsfinau Cantorian. Er enghraifft, os yw H yn rhif anfeidrol yn yr ystyr hwn, yna mae H. + H. = 2H a H. +  1 yn rhifau anfeidrol amlwg. Mae'r dull hwn o ymdrin â chalcwlws ansafonol wedi'i ddatblygu'n llawn yn Keisler (1986).

Theori setGolygu

 
Gohebiaeth un i un rhwng set anfeidrol a'i is-set briodol

Math gwahanol o "anfeidredd" yw anfeidredd trefnol a chardinal theori set - system o rifau trawsfeidraidd (transfinite) a ddatblygwyd gyntaf gan Georg Cantor. Yn y system hon, y prifoledd trawsfeidraidd cyntaf yw aleph-nwl ( 0), prifoledd y set o rifau naturiol. Datblygodd y cysyniad mathemategol modern hwn o'r anfeidrol feintiol ddiwedd y 19g allan o weithiau gan Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind ac eraill - gan ddefnyddio'r syniad o gasgliadau neu setiau.[2]

Diffiniodd Cantor ddau fath o rifau anfeidrol: trefnolion a phrifolion. Mae trefnolion yn nodweddu setiau trefnus, neu gyfrif ymlaen i unrhyw bwynt stop. Mae cyffredinoli dilyniannau anfeidrol a meidraidd yn arwain at fapiau o drefnolion i ddilyniannau trawsfeidraidd. Mae rhifau cardinal (y prifolion) yn diffinio maint setiau, sy'n golygu faint o aelodau sydd ynddynt, a gellir eu safoni trwy ddewis y trefnolyn cyntaf o faint penodol i gynrychioli prifolyn o'r maint hwnnw. Yr anfeidredd trefnol lleiaf yw un y cyfanrifau positif, ac mae unrhyw set sydd â chardinoldeb y cyfanrifau yn anfeidrol rhifadwy. Os yw set yn rhy fawr i'w rhoi mewn cyfatebiaeth un-i-un gyda'r cyfanrifau positif, fe'i gelwir yn anrhifadwy. Daeth barn Cantor yn rhan anhepgor o fathemateg fodern, a derbyniwyd y cysyniad o anfeidredd gwirioneddol fel rhan o theori gyson a chydlynol.[29][30] . 

GeometregGolygu

Hyd at ddiwedd y 19g, anaml y trafodwyd anfeidredd mewn geometreg, ac eithrio yng nghyd-destun prosesau y gellid eu parhau heb unrhyw derfyn. Er enghraifft, llinell oedd yr hyn a elwir bellach yn segment o linell, gyda'r amod y gellir ei hymestyn heb derfyn; ond yr oedd ei hymestyn yn anfeidrol allan o'r cwestiwn. Yn yr un modd, nid oedd llinell fel arfer yn cael ei hystyried yn cynnwys nifer anfeidrol o bwyntiau, ond yn hytrach, yn lleoliad lle gellir gosod pwynt. Hyd yn oed os oes nifer anfeidrol o safleoedd posibl, dim ond nifer gyfyngedig o bwyntiau y gellid eu gosod ar linell. Caiff hyn ei atgyfnerthu yn yr ymadrodd " locws y pwynt (unigol) sy'n bodloni rhyw briodwedd", lle byddai mathemategwyr modern fel arfer yn dweud "set y pwyntiau sydd â'r priodwedd" (lluosog).

Un o'r eithriadau prin o gysyniad mathemategol sy'n cynnwys anfeidredd gwirioneddol oedd geometreg dafluniol, lle mae pwyntiau anfeidredd yn cael eu hychwanegu at y gofod Euclidaidd ar gyfer modelu'r effaith persbectif sy'n dangos llinellau cyfochrog yn croestorri "ar yr anfeidredd". Yn fathemategol, mae gan bwyntiau anfeidredd y fantais o ganiatáu i un beidio ag ystyried rhai achosion arbennig. Er enghraifft, mewn plân dafluniol, mae dwy linell wahanol yn croestorri mewn un pwynt yn union, ond heb bwyntiau yn yr anfeidredd, nid oes pwyntiau croestoriad ar gyfer llinellau cyfochrog. Felly, rhaid astudio llinellau cyfochrog ac nad ydynt yn gyfochrog ar wahân mewn geometreg glasurol, tra nad oes angen eu gwahaniaethu mewn geometreg dafluniol.

Cyn defnyddio theori set ar gyfer sylfaen mathemateg, roedd pwyntiau a llinellau yn cael eu hystyried yn endidau gwahanol, a gellid lleoli pwynt ar linell. Gyda'r defnydd cyffredinol o theori set mewn mathemateg, mae'r safbwynt wedi newid yn ddramatig: mae llinell bellach yn cael ei hystyried fel set o'i phwyntiau, a dywedir fel arfer bod pwynt yn perthyn i linell yn lle ei bod wedi'i lleoli ar linell (fodd bynnag, defnyddir yr ymadrodd olaf o hyd).

Yn benodol, mewn mathemateg fodern, setiau anfeidrol yw llinellau.

Dimensiwn anfeidrolGolygu

Mae gan y gofodau fector sy'n digwydd mewn geometreg glasurol ddimensiwn meidrol bob amser, dau neu dri fel arfer. Fodd bynnag, nid yw hyn yn cael ei awgrymu gan y diffiniad haniaethol o ofod fector, a gellir ystyried gofodau fector dimensiwn anfeidrol. Mae hyn yn wir fel arfer mewn dadansoddiad ffwythiannol lle mae gofod-ffwythiant yn gyffredinol yn ofod fector o ddimensiwn anfeidrol.

Mewn topoleg, gall rhai cystrawennau gynhyrchu gofodau topolegol o ddimensiwn anfeidrol.

FfractalauGolygu

Ailadroddir strwythur gwrthrych ffractalaidd pan gaiff ei chwyddo, a gellir gwneud hynny am gyfnod amhenodol heb golli'r strwythur, a dod yn "llyfn"; mae ganddynt berimedrau anfeidrol, a gallant fod ag arwynebedd anfeidrol neu feidrol. Un gromlin ffractal o'r fath gyda pherimedr anfeidrol ac ardal meidrol yw pluen eira Koch. 

Mathemateg heb anfeidreddGolygu

Roedd Leopold Kronecker yn amheus o'r syniad o anfeidredd a sut roedd ei gyd-fathemategwyr yn ei ddefnyddio yn yr 1870au a'r 1880au. Datblygwyd yr amheuaeth hon yn athroniaeth mathemategol a elwir yn feidroldeb, ffurf eithafol o athroniaeth fathemategol o fewn athroniaeth a mathemateg adeiladaeth a greddf.[31]

LlyfryddiaethGolygu

 

CyfeiriadauGolygu

  1. Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. t. 616. ISBN 0-691-11880-9. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2016-06-03. Unknown parameter |deadurl= ignored (help) Tud. 616 Archifwyd 2016-05-01 yn y Peiriant Wayback.
  2. 2.0 2.1 2.2 Allen, Donald (2003). "The History of Infinity" (PDF). Texas A&M Mathematics. Cyrchwyd 2019-11-15.
  3. McLarty, Colin (2010). "What does it take to prove Fermat's Last Theorem? Grothendieck and the logic of number theory". The Bulletin of Symbolic Logic 16 (3): 359–377. doi:10.2178/bsl/1286284558.
  4. Wallace 2004
  5. Aristotle. Physics. The Internet Classics Archive. Book 3, Chapters 5–8.
  6. Nicolas D. Goodman (1981). Richman, F.. ed. "Reflections on Bishop's philosophy of mathematics". Constructive Mathematics. Lecture Notes in Mathematics (Springer) 873.
  7. Maor, p. 3
  8. Heath, Sir Thomas Little; Heiberg, Johan Ludvig (1908). The Thirteen Books of Euclid's Elements. v. 2. The University Press. t. 412 (Book IX, Proposition 20)..
  9. Hutten, Earnest H. (1962). The Origins of Science: An Inquiry into the Foundations of Western Thought. George Allen & Unwin Ltd. t. 135. ISBN 9780049460072.
  10. GPC Arlein; adalwyd 1 Rhagfyr 2018.
  11. "Zeno's Paradoxes". Stanford University. October 15, 2010. Cyrchwyd April 3, 2017.
  12. Russell 1996
  13. Cauchy, Augustin-Louis (1821). Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique. Libraires du Roi & de la Bibliothèque du Roi. t. 124. Cyrchwyd October 12, 2019.
  14. Ian Stewart (2017). Infinity: a Very Short Introduction. Oxford University Press. t. 117. ISBN 978-0-19-875523-4.
  15. Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations (yn Saesneg). 1. Cosimo, Inc. t. 214. ISBN 9781602066854.
  16. Cajori 1993
  17. Cajori 1993
  18. Scott, Joseph Frederick (1981), The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616–1703) (2 ed.), American Mathematical Society, p. 24, ISBN 978-0-8284-0314-6, https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C&pg=PA24
  19. Martin-Löf, Per (1990), "Mathematics of infinity", COLOG-88 (Tallinn, 1988), Lecture Notes in Computer Science, 417, Berlin: Springer, pp. 146–197, doi:10.1007/3-540-52335-9_54, ISBN 978-3-540-52335-2, MR 1064143
  20. Grattan-Guinness, Ivor (2005). Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940. Elsevier. t. 62. ISBN 978-0-08-045744-4. Extract of p. 62
  21. Weyl, Hermann (2012), Peter Pesic, ed., Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy, Dover, p. 17, ISBN 978-0-486-48903-2
  22. Toker, Leona (1989), Nabokov: The Mystery of Literary Structures, Cornell University Press, p. 159, ISBN 978-0-8014-2211-9, https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159
  23. O'Flaherty, Wendy Doniger (1986), Dreams, Illusion, and Other Realities, University of Chicago Press, p. 243, ISBN 978-0-226-61855-5, https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243
  24. Jesseph, Douglas Michael (1998). "Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes". Perspectives on Science 6 (1&2): 6–40. ISSN 1063-6145. OCLC 42413222. http://muse.jhu.edu/journals/perspectives_on_science/v006/6.1jesseph.html. Adalwyd 1 November 2019.
  25. Taylor 1955
  26. These uses of infinity for integrals and series can be found in any standard calculus text, such as, Swokowski 1983
  27. "Properly Divergent Sequences - Mathonline". mathonline.wikidot.com. Cyrchwyd 2019-11-15.
  28. Weisstein, Eric W. "Extended Complex Plane". mathworld.wolfram.com (yn Saesneg). Cyrchwyd 2019-11-15.
  29. "Infinity". math.dartmouth.edu. Cyrchwyd 2019-11-16.
  30. Moore, A.W. (1991). The Infinite. Routledge.
  31. Kline 1972, tt. 1197–1198
Cyfeiriadau eraill

Dolenni allanolGolygu


CyfeiriadauGolygu