Corn Gabriel

Ffigwr geometreg yw Corn Gabriel (a elwir hefyd yn trymped Torricelli) sydd ag arwynebedd anfeidraidd ond cyfaint meidraidd. Mae'r enw'n cyfeirio at y traddodiad Abrahamaidd lle mae'r archangel Gabriel yn chwythu'r corn i gyhoeddi Dydd y Farn, sy'n gysylltu'r dwyfol, neu'r anfeidrol, â'r meidraidd. Astudiwyd priodweddau'r ffigur hwn gyntaf gan y ffisegydd a mathemategydd Eidalaidd Evangelista Torricelli yn yr 17g.

Darlun 3D o gorn Gabriel.

Diffiniad mathemategol

Graff

x\mapsto {\tfrac {1}{x}}

.

Ffurfir corn Gabriel trwy gymryd y graff

x\mapsto {\frac {1}{x}},

gyda'r parth $x\geq 1$ , a'i gylchdroi mewn tri dimensiwn o amgylch yr echelyn- $x$ . Darganfuwyd yn wreiddiol gan ddefnyddio egwyddor Cavalieri cyn cafodd calcwlws ei ddyfeisio. Heddiw gallwn defnyddio calcwlws i gyfrifo cyfaint ac arwynebedd y corn rhwng $x = 1$ ac $x = a$ , lle $a > 1$ . Trwy ddefnyddio integreiddio mae'n bosib dod o hyd i'r cyfaint $V$ ac arwynebedd yr arwyneb $A$ :

V=\pi \int \limits _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)

A=2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x>2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \ln(a).

Gall gwerth $a$ fod mor fawr a sydd angen: gallwn gweld o'r hafaliad na fydd cyfaint y corn rhwng $x = 1$ ac $x = a$ byth fwy na $π$ ; fodd bynnag wrth i $a$ cynyddu mae'r cyfaint yn raddol yn agosáu at $π$ . Yn fathemategol, yn defnyddio nodiant terfan calcwlws:

\lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .

Mae'r fformiwla arwynebedd uchod yn rhoi arffin is ar gyfer yr arwynebedd i fod fel 2 $π$ lluosi'r logarithm naturiol o $a$ . Nid yw'r logarithm naturiol yn ffinedig uwchben. Mae hynny'n golygu, yn yr achos hwn, bod gan y corn arwynebedd anfeidraidd. Hynny yw,

\lim _{a\to \infty }A\geq \lim _{a\to \infty }2\pi \ln(a)=\infty .

Paradocs ymddangosiadol

Pan ddarganfuwyd priodweddau corn Gabriel yn gyntaf, ystyriwyd bod y ffaith bod cylchdroi rhanbarth anfeidrol o'r plân- $xy$ o amgylch yr echelyn- $x$ yn gallu cynhyrchu gwrthrych gyda cyfaint meidraidd, i fod yn baradocs. Ond, wrth feddwl, gallwn deall y ffenomenon:

Gellir trin y corn fel pentwr o ddisgiau gyda radiws sy'n lleihau. Mae swm y radiws yn cynhyrchu cyfres harmonig anfeidredd. Fodd bynnag, y cyfrifiad cywir yw swm eu sgwariau. Mae gan bob disg radiws $r = 1 / x$ ac arwynebedd $π r 2$ neu $π / x 2$ . Mae'r gyfres $1 / x$ yn dargyfeirio ond mae $1 / x 2$ yn cydgyfeirio. Yn gyffredinol, ar gyfer unrhyw go iawn $ε > 0$ , mae $1 / x 1+ ε$ yn cydgyfeirio.

Roedd y paradocs ymddangosiadol hyn yn rhan o ddadl ynglŷn â natur anfeidredd, a oedd yn cynnwys nifer o feddylwyr allweddol yr oes gan gynnwys Thomas Hobbes, John Wallis a Galileo Galilei.^[1]

Paradocs y paentiwr

Oherwydd fod gan y corn gyfaint meidraidd ond arwynebedd anfeidraidd, mae yna'r paradocs canlynol: gallai'r corn gael ei lenwi â swm meidraidd o baent ac eto ni fyddai'r paent hwnnw'n ddigonol i orchuddio ei arwyneb mewnol. Datrysir y paradocs trwy sylweddoli y gall swm meidraidd o baent orchuddio arwynebedd anfeidrol - yn syml mae angen iddo deneuo ar gyfradd ddigon cyflym. Yn yr achos lle mae'r corn wedi'i lenwi â phaent, cyflawnir y teneuo hwn gan y gostyngiad cynyddol mewn diamedr gwddf y corn.

Gwrthdro

Mae gwrthwyneb i gorn Gabriel yn amhosib - ni ellir creu arwyneb chwyldro sydd ag arwynebedd meidraidd ond cyfaint anfeidraidd.

Cyfeiriadau

↑ Havil, Julian (2007). Nonplussed!: mathematical proof of implausible ideas. Princeton University Press. tt. 82–91. ISBN 0-691-12056-0.

[1] Havil, Julian (2007). Nonplussed!: mathematical proof of implausible ideas. Princeton University Press. tt. 82–91. ISBN 0-691-12056-0.

[1]