Gwrthdroad (geometreg)

Oddi mewn i geometreg, yr astudiaeth o nodweddion o wrthrychau a berchir gan math o drawsffurfiad o'r plân Euclidaidd yw geometreg gwrthdroadol (inversive geometry).

P' yw gwrthro P, yn nhermau'r cylch.

I lunio gwrthdroad P' o bwynt y tu allan i'r cylch Ø: gadewch i r fod yn radiws o Ø. Mae trionglau hafalochrog OPN a ONP' yn gyflun. Mae OP i r yr hyn yw r i OP'.

Mae'r trawsffurfiadau hyn yn parchu (neu'n 'prisyrfio') onglau ac yn mapio cylchoedd cyffredinol (sef naill ai cylch neu linell (gyda radiws anfeidraidd). Many difficult problems in geometry become much more tractable when an inversion is applied. Mae llawer o'r problemau a geisir eu datrys odi fewn i geometreg yn llawer mwy hydrin pan ddefnyddir y gwrthdroad i'w hateb.

Gellir cymhwyso a chyffredinoli'r astudiaeth o wrthdroad i ddimensiynau uwch.

Gwrthroad y cylch

I wrthdroi rhif mewn rhifyddeg, rydym fel arfer yn "cymryd ei gilydd". Syniad tebyg i hwn yw y gellir "gwrthroi pwynt".

Yn y plân, mae gwrthro pwynt P, yn nhermau cylch (Ø), gyda'i ganolbwynt O a radiws r, yn bwynt P' sy'n gorwedd ar y pelydr o bwynt 0 i P, fel bod

$OP\times OP^{\prime }=r^{2}.$

Gelwir hyn yn wrthdroad cylch, neu'n wrthdroad plân.

Mae'r gwrthdroi'n cymryd unrhyw bwynt P (ar wahân i O) i'w ddelwedd P' hefyd yn cymryd P' yn ôl P, fel bod y canlyniad o gymhwyso yr un gwrthdroad ddwywaith yw'r trawsffurfiad unfathiant (identity transformation) ar holl bwyntiau'r plân, ar wahân i O. I droi gwrthdroad yn infolytedd, mae'n rhaid cyflwyno "pwynt anfeidredd", sef un pwynt a leolir ar bob llinell, ac sy'n ymestyn y gwrthdroad, er mwyn cydgyfnewid y canol O gyda'r pwynt yma yn yr anfeidredd.

Mae'n dilyn o'r diffiniad, felly, fod y gwrthdroad o unrhyw bwynt o fewn y cylch cyfeiriol y tu allan ohono, a vice versa, gyda'r canol a'r pwynt anfeidredd yn newid safle. Ni newidir unrhyw bwynt o fewn y cylch. Yn grynno: yr agosaf yw unrhyw bwynt i'r canol, yna'r pellaf y bydd ei drawsffurfiad, ac fel arall.

Nodweddion

• 
  Yn nhermau'r cylch coch, mae gwrthdroad cylch sy'n mynd drwy O (glas) yn llinell nad yw'n teithio drwy O (gwyrdd) a vice versa.
• 
  Yn nhermau'r cylch coch, mae gwrthdroad cylch sydd ddim yn mynd drwy O (gwyrdd), yn gylch sydd ddim yn mynd drwy O, a vice versa.
• 
  Nid yw gwrthdroad, yn nhermau cylch, ddim yn mapio canol y cylch i ganol y ddelwedd.